Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

(Enunciado adaptado em relação à prova original)

Considerando todos os trapézios regulares de área A = 10   u . a . e tendo os seus menores ângulos internos valendo θ = π 4 , calcule o menor valor possível de perímetro, nessas condições.

Passo 1

Vou começar esboçando a situação:

Esse seria um triângulo qualquer de acordo com as especificações da questão. A gente sabe que as suas área e perímetro, chamando as bases de B (maior) e b (menor), a altura de h e os lados inclinados de x , seriam dadas por:

A = B + b h 2

2 p = B + b + 2 x

Agora, na função que queremos otimizar, o perímetro, nós temos 3 variáveis. Precisamos através de relações entre as variáveis chegar a uma fórmula de uma só variável.

Passo 2

Em primeiro lugar, vamos eliminar a altura da fórmula da área:

h = x sen ⁡ π 4 = 2 2 x

Temos uma relação nesse trapézio entre os lados seguindo que a base menor somada às projeções horizontais dos lados inclinados tem que ser iguais a base maior, se o trapézio for regular. Como a questão já disse que ele é realmente regular:

b + 2 x cos ⁡ π 4 = B

b + 2 x 2 2 = B

b + x 2 = B

Agora, na própria fórmula da área temos uma outra igualdade entre as variáveis, já que a área sempre valerá 10 :

10 = B + b h 2

Podemos substituir a altura h e a base B em função de x e b , como já achamos:

10 = b + x 2 + b 2 2 x 2

10 = 2 b + x 2 2 2 x 2

20 = 2 b + x x

20 x = 2 b + x

b = 2 2 20 x - x

Então vamos voltar ao termo do perímetro e tentar colocar tudo em função de x :

2 p = B + b + 2 x

2 p = b + x 2 + b + 2 x

2 p = 2 b + 2 + 2 x

2 p = 2 2 2 20 x - x + 2 + 2 x

2 p = 20 2 x + 2 x

Achamos, finalmente, a nossa fórmula para o perímetro!

Passo 3

Agora a gente deriva e iguala a 0 para ver qual é o x que otimiza isso tudo:

2 p ' = 20 2 x ' + 2 x ' = 0

2 p ' = - 20 2 x 2 + 2 = 0

20 2 x 2 = 2

x 2 = 10 2

x = 10 2

Ao substituir valores menores que x = 10 2 para 2 p ' , vemos que o sinal de 2 p ' é negativo, bem como para valores maiores que o x = 10 2 o termo da derivada é positivo. Isso faz com que o ponto seja de mínimo local na função 2 p .

Esse é o x que gera perímetro mínimo. Assim, o perímetro mínimo será:

2 p 10 2 = 20 2 10 2 + 2 10 2

= 400 2 10 2 + 2 10 2

= 40 2 + 2 10 2

= 2 10 2 + 2 10 2

= 4 10 2     u . c .

Resposta

O   p e r í m e t r o   m í n i m o   v a l e   4 10 2     u . c .

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