Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

Cristais de clorato de sódio são fáceis de crescer no formato de cubos permitindo uma solução de água e clorato de sódio evaporar vagarosamente. Se V for o volume de cada cubo com comprimento de lado x :

Calcule d V d x quando x = 3   m m e explique seu signficiado.

Passo 1

E aí, gente!! Tudo bem? Vamos para mais um desafio?

O comando da questão está pedindo pra calcular d V d x em um determinado valor de x. Mas a gente só consegue fazer isso se encontrar uma equação que consiga correlacionar o volume do cubo com o tamanho do seu lado.

Então, o primeiro passo vai ser a gente encontrar essa relação e depois substituir o valor de x = 3   m m e discutir sobre seu significado!

Passo 2

Sabemos que o volume do cubo está diretamente relacionado com seu lado pela equação:

V = x 3

Então se queremos conhecer d V / d x , basta derivarmos o volume em função de x :

d V d x = 3 x 2

E pedir o que o enunciado nos diz que devemos fazer, que é analisar em x = 3   m m

d V d x = 3 3 2 = 3 3 = 27   m m ²

Note que a unidade dessa conta foi mm², uma vez que d V d x = m 3 m = [ m 2 ] e além disso, também podemos analisar que na derivada foi substituído x 2 por 3mm, o que gerará um valor de 9 mm².

Ou seja, o significado físico dessa derivada é que ela representa a área do cubo.

Resposta

d V d x = 27   m m ²

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