Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

Um cilindro circular reto está inscrito em uma esfera. Se o raio da esfera cresce a uma taxa de 1   c m / s   e o raio da base do cilindro cresce a uma taxa de 3   c m / s , com que razão está variando a área lateral do cilindro no momento em que o raio da esfera é 10   c m e o raio da base do cilindro é de 6   c m ?

Passo 1

Chamando, como na figura, de R o raio da esfera, r o do cilindro e h a metade da altura, vamos reunir aqui os dados num instante dado que eu vou chamar de t 0 :

R ' t 0 = 1   c m / s

r ' t 0 = 3   c m / s

R t 0 = 10   c m

r t 0 = 6   c m

E ele quer saber, com isso, como varia a área lateral do cilindro. Bom, podemos calcular essa área pela definição geométrica dela, que é a seguinte:

A C i l = 2 π r 2 h

Porém, h é uma variável da qual não conhecemos a taxa de variação e o valor em t 0 o que complica para trabalhar. Por outro lado, dá para ver pela própria figura que r , h e R formam um triângulo retângulo, então poderemos escrever h em função de r e R :

h 2 + r 2 = R 2 → h = R 2 - r 2

A C i l = 4 π r R 2 - r 2

Passo 2

Vamos derivar os dois lados em função do tempo e ver como ficamos:

A C i l ' = 4 π r ' R 2 - r 2 + r R 2 - r 2 '

= 4 π r ' R 2 - r 2 + r R 2 - r 2 ' 2 R 2 - r 2

= 4 π r ' R 2 - r 2 + r ( R R ' - r r ' ) R 2 - r 2

Bom, em t 0 a gente sabe quais serão os valores de r , r ' , R e R ' .

A C i l ' t 0 = 4 π r t 0 ' R t 0 2 - r t 0 2 + r t 0 R t 0 R ' t 0 - r t 0 r ' t 0 R t 0 2 - r t 0 2

= 4 π 3 10 2 - 6 2 + 6 10 1 - 6 3 10 2 - 6 2

= 4 π 3 100 - 36 + 6 10 - 18 100 - 36

= 4 π 3 64 + 6 - 8 64 = 4 π 3 8 - 48 8

= 4 π 24 - 6 = 4 π 18

= 72 π   c m 2 / s

Resposta

A C i l ' = 72 π   c m 2 / s

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