Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

Uma escada com 13 pés está em pé e apoiada em uma parede, quando sua base começa a

escorregar, afastando-se da parede. No momento em que a base está a 12 pés da casa, ela

escorrega a uma taxa de 5 pés/s.

(b) A que taxa a área do triângulo, formado pela escada, parede e pelo solo, varia?

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão nos pede para calcular a taxa de variação da área do triângulo formado por uma escada de 13 pés, pela parede onde seu topo está apoiado e pela distância de apoio da base. Como a escada possui um tamanho fixo, há um vínculo entre a medida da distância do topo da escada ao chão e a distância horizontal da base da escada. Da figura, é simples perceber que esse vínculo pode ser escrito através do teorema de Pitágoras se notarmos que a escada, a distância vertical e a distância horizontal constituem, respectivamente, a hipotenusa e os catetos. Assim, podemos escrever a restrição das medidas na seguinte forma:

x ( t ) 2 + y ( t ) 2 =   13 2

Sabendo que as distâncias x(t) e y(t) variam no tempo, mas o comprimento da escada não varia e, sabendo também que, a cada instante de tempo as distâncias formarão um novo triângulo retângulo, podemos calcular suas taxas de variações derivando a expressão. Então, vamos lá!

Passo 2

Escrevendo a componente y(t) em função da componente x(t), obtemos:

y ( t )   =   13 2 - x ( t ) 2

Para descobrir como a altura do topo varia com o tempo, derivamos a expressão acima em relação ao tempo, utilizando a regra da cadeia. Definindo as funções h ( w )   =   w e w ( x ( t ) ) = 13 2 - x ( t ) 2 , podemos escrever a função y(t) como y ( t ) = h ( w ( x ( t ) ) ) . Assim, temos que a derivada da altura em relação ao tempo é:

y ' ( t ) =   d d t y ( t ) = d d w h ( w ) × d d x w ( x ) × d d t x ( t ) =   1 2 13 2 - x ( t ) 2 - 1 2 × - 2 x ( t ) d d t x ( t )

Simplificando a expressão acima, podemos reescrevê-la como?

y ' ( t )   = - x ( t ) x ' ( t ) 13 2 - x ( t ) 2 - 1 2  

Como esperado, a taxa de variação do topo tem sinal oposto à taxa de variação da distância da base, já que, como a escada tem tamanho fixo, se a distância da base aumenta, a medida y(t) diminui com o tempo e vice-versa.

Passo 3

Agora, sabendo como a taxa de variação de y(t) se relaciona com a taxa de variação de x(t), podemos calcular a taxa de variação da área em função da derivada de apenas uma das variáveis. Sabendo que a área de um triângulo é metade do produto da base pela altura 1 2 x ( t ) y ( t ) , temos que sua taxa de variação pode ser escrita como

d d t A ( t ) = A ' ( t )   =   1 2 d d t ( x ( t ) × y ( t ) )   =   1 2 x ' ( t ) × y ( t ) + x ( t ) × y ' ( t )

Onde utilizamos a regra do produto para derivar a expressão da área. Substituindo as expressões para y(t) e y’(t), temos que a taxa de variação da área do triângulo é

A ' ( t )   =   1 2 x ' ( t ) × 13 2 - x ( t ) 2   -   x ( t ) 2 x ' ( t ) 13 2 - x ( t ) 2 - 1 2  

Resposta

A ' ( t )   =   1 2 x ' ( t ) × 13 2 - x ( t ) 2   -   x ( t ) 2 x ' ( t ) 13 2 - x ( t ) 2 - 1 2  

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