Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

UFRJ – Cálculo 1 – P1 2010.2 – 3

No desenho, o ponto A representa um objeto que se desloca sobre uma semicircunferência de raio 5   m , com velocidade constante 0,1   m / s . Em cada instante, h é a distância de A até o diâmetro P Q .

Durante o movimento de subida, qual será a taxa de variação da distância h no momento em que ela medir 4   m ?

Passo 1

O que a questão pede é:

d h d t =   ? ?

No instante em que h = 4 m. O dado que nós temos é referente à velocidade.

Como a velocidade é a taxa de variação da posição com relação ao tempo, e o espaço percorrido pela partícula em A é o arco s , então é seguro dizer que a velocidade é:

d s d t = 0,1 m / s

Também temos o valor do raio da figura:

r = 5 m

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O que vai conectar os nossos s e h vai ser o ângulo θ que é comum aos dois:

s = r θ

h = r sen θ

Passo 3

Derivando em relação ao tempo:

d s d t = 5 d θ d t

d h d t = 5 cos θ d θ d t

Substituindo o que a gente já sabe na primeira:

0,1 = 5 d θ d t d θ d t = 0,02 r a d / s

Substituindo na segunda:

d h d t = 5 d θ d t cos θ

d h d t = 0,1 cos θ

Passo 4

Agora basta achar quanto é o cos θ quando h = 4 : cos θ = 1 - sen 2 θ

Da figura, temos, quando h = 4 :

sen θ = 4 5

Calculando essa felicidade:

cos θ = 1 - 16 25 = 25 - 16 25

cos θ = 9 25

cos θ = 3 5

Substituindo:

d h d t = 0,1 3 5

Resposta

d h d t = 0,06 m / s

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas