Exercícios Resolvidos de Teorema de Rolle e Valor Médio

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Enunciado

Passo 1

A nossa função p x = A x 2 + B x + C é uma função polinomial, que é contínua para todo R e, portanto, para o fechado [ a , b ] .

Além disso, é também é diferenciável em todo o seu domínio que, no caso, é todo o R . Portanto, é diferenciável para o aberto ( a , b ) .

Assim, como as duas condições do TVM estão garantidas, podemos afirmar que existe um valor c no intervalo ( a , b ) em que

p ' c = p b - p a b - a

Passo 2

Vamos então substituir nossa função p na igualdade acima:

p ' c = A b 2 + B b + C   - ( A a 2 + B a + C   ) b - a

p ' c = A b 2 - a 2 + B ( b - a ) b - a

Passo 3

Opa, mas b 2 - a 2 é um produto notável.

b + a b - a = b 2 - a 2

Substituindo esse produto notável, ficamos com

p ' c = A b + a b - a + B ( b - a ) b - a

Colocando ( b - a ) em evidencia:

p ' c = b - a A b + a + B b - a

p ' c = A b + a + B

Passo 4

Além disso, a derivada de p é

p ' x = 2 A x + B

p ' c = 2 A c + B

Passo 5

Agora, igualando o que achamos no passo 4 ao que achamos no passo 5, podemos encontrar o valor de c .

2 A c + B = A b + a + B

2 A c = A ( b + a )

c = b + a 2

Ou seja, o valor de c é o ponto médio do intervalo ( a , b ) .

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