Exercícios Resolvidos de Teorema de Rolle e Valor Médio

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Enunciado

Passo 1

a )  

Essa é fácil!

É só substituir t = 1 e t = 2 na nossa f t e ver se os resultados são iguais.

f t = - 16 t 2 + 48 t + 32

f 1 = - 16 . 1 2 + 48 . 1 + 32 = 64

f 2 = - 16 . 2 2 + 48 . 2 + 32 = 64

Show, são iguais mesmo!

Assim

f 1 = f 2 = 64

Passo 2

b )

Segundo o Teorema de Rolle, se uma função é tal que

f a = f ( b )

Então existe algum valor c dentro do interval [ a , b ] em que

f ' c = 0

Ou seja, em que a reta tangente é horizontal.

No nosso caso, como temos

f 1 = f ( 2 )

Segundo o Teorema de Rolle, em algum instante do intervalo 1,2 , a velocidade v = f ' ( t ) da bola deve ser nula.

Entendeu? Porque a velocidade da bola é a derivada da função posição da bola.

Passo 3

c )

A velocidade media da bola durante os dois primeiros segundos é dada pela variação da posição da bola nesse tempo, dividida pelo interval de tempo. Assim:

v m é d = f 2 - f 0 2 - 0 = 64 - 32 2 = 16   m / s

Passo 4

d )

Primeiramente, o teorema que nos garante que em algum instante a velocidade media será igual a velocidade instantanea da bola é o Teorema do Valor Médio.

Ele diz que se f é continua no intervalo fechado [ a , b ] e diferenciável no intervalo aberto ( a , b ) , então existe um valor c que pertença a esse intervalo tal que

f ' c = f b - f a b - a

Se substituirmos a = 0 , b = 2 e sendo f a função posição da nossa bola e f ' a velocidade da bola, teremos que

f ' c = f 2 - f 0 2 - 0 = v m é d = 16

Que calculamos na letra c .

Agora, para achar o valor de c em que isso acontece, basta derivarmos nossa f e igualar a 16 .

A derivada de f é

f ' t = - 32 t + 48

f ' c = - 32 c + 48 = 16

- 32 c = - 32

c = 1   s

Resposta

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