Mostrar que a função f   ( x )   =   2 x   -   1   -   s e n   ( x   ) , x   ∈   R , tem exatamente um zero real.

Passo 1

Olá caro colega, Yuri aqui e agora é hora de trabalho. Vamos mostrar que a função dada possui apenas 1 zero real, o que significa duas coisas: 1º ela possui 1 zero real, então devemos provar que existe 1 zero real, 2º provar que é apenas 1 zero real.

Primeiro, vamos observar os valores da função nos extremos de um intervalo. Quando x tende a negativo infinito, a função f ( x ) tende a negativo infinito. E quando x tende a positivo infinito, a função f ( x ) tende a positivo infinito. Isso ocorre porque o termo - sin ⁡ x está limitado entre - 1 e 1 . Como a função é contínua, de acordo com o Teorema do Valor Intermediário, deve haver um valor de x no qual f(x)=0, ou seja, pelo menos um zero real.

Passo 2

Agora iremos demonstrar que a função tem no máximo um zero real. A derivada da função f ( x ) e f ' x = 2 - cos ⁡ x . A derivada f ' ( x ) é sempre positiva, uma vez que o menor valor possível para cos ⁡ x é - 1 e 2 - - 1 = 3 , que é positivo. Isso indica que a função f ( x ) é estritamente crescente em toda sua gama de valores. Uma função estritamente crescente só pode cruzar o eixo x uma vez. E aqui terminamos nossa prova, um forte abraço meu amigo e até uma próxima.

Resposta

Ver o desenvolvimento.

Exercícios de Livros Relacionados

Sejaf x = tg ⁡ x . Mostre que f 0 = f ( π ) , mas não existe um número c em ( 0 ,π ) tal que f ' c = 0 . Por que isso não contradiz o Teorema de Rolle?
Mostre que a equação 2 x - 1 - s e nx= 0 tem exatamente uma raiz real.
Demonstre a identidade arcsen (x - 1)/(x + 1) = 2 arctg sqrt(x) - (pi)/(2)
Suponha que f seja uma função ímpar e derivável em toda a parte. Demonstre que para todo o número positivo b existe um número c ( - b , b ) tal que f ' c = f b b .
Dois corredores iniciam uma corrida no mesmo instante e terminam empatados. Demonstre que em algum momento durante a corrida, eles tinham a mesma velocidade. [Sugestão: Considere f t = g t - h ( t ) ,