Exercícios Resolvidos de Teorema de Rolle e Valor Médio

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Enunciado

A função abaixo satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio no intervalo dado? Justifique sua resposta.

f x = x 4 / 5 ,     [ 0,1 ]

Passo 1

Legal, temos, à esquerda da vírgula, a função a analisar e, à direita, o intervalo.

Para ver se a função satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio temos que garantir que:

  • A função seja contínua para todo o intervalo fechado [ 0,1 ] .
  • A função seja derivável para todo o intervalo aberto ( 0,1 ) .

Passo 2

A função f x = x 4 / 5 é uma função potência, que é contínua para todo R . Assim, garantimos a primeira condição.

Passo 3

A derivada dessa função, segue a regra da derivação de funções potência, onde:

f ' x = 4 5 x 4 / 5 - 1 = 4 5 x - 1 / 5   = 4 5 x 1 / 5

Essa derivada não vai existir para x = 0 , pois teremos uma divisão por zero. Isso não é problema, pois precisamos somente que a função seja derivável para intervalo aberto ( 0,1 ) , ou seja, ela não precisa ser derivável nas fronteiras do intervalo, em x = 0 . e x = 1 .

Dessa maneira, a função satifaz as hipóteses do TVM.

Resposta

A função satifaz as hipóteses do TVM. Justificativa no desenvolvimento.

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