Suponha que 3 ≤ f ' x ≤ 5 para todos os valores de x . Mostre que 18 ≤ f 8 - f 2 ≤ 30

Passo 1

Se 3 ≤ f ' x ≤ 5 para qualquer x, então, pelo teorema do valor médio temos que:

f ' c = f b - f a b - a

Onde a e b são os limites inferior e superior respectivamente do intervalo dado, logo

f 8 - f 2 = f ' ( c ) ( 8 - 2 )

Passo 2

Se f é derivável para qualquer x , logo, f é derivável em (2,8) e contínua também em [2,8], assim, a hipótese do teorema do valor médio foi satisfeita.

Tendo a hipótese satisfeita, podemos fazer o caminho a seguir:

f 8 - f 2 = f ' c 8 - 2 a 18 ≤ f 8 - f 2 ≤ 30

f 8 - f 2 = 6 f ' ( c ) e 3 ≤ f ' c ≤ 5 , logo:

6 × 3 ≤ 6 f ' c ≤ 6 × 5

18 ≥ 6 f ' c ≤ 30

Agora pra gente chegar na conclusão que queremos:

18 ≤ f 8 - f 2 ≤ 30

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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