Exercícios Resolvidos de Teorema de Rolle e Valor Médio

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Enunciado

A função:

f x =   x ,     0 ≤ x < 1 0 ,                   x = 1 é zero quando x = 0 e x = 1 e derivável em   ( 0,1 ) , mas sua derivada em ( 0,1 ) nunca é zero. Explique por quê. O teorema de Rolle não diz que a derivada deveria ser zero em algum lugar em ( 0,1 ) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Pelo teorema de Rolle temos que:

Repara que para a gente poder aplicar o Teorema de Rolle, antes temos que ver se essas duas condições são satisfeitas:

  • A função é contínua para todo o intervalo fechado [ 0,1 ] .
  • A função é derivável para todo o intervalo aberto ( 0,1 ) .

Passo 2

Vamos começar avaliando se a função é contícua no intervalo fechado [ 0,1 ] .

Repara que a nossa função muda de cara quando chegamos na fronteira x = 1 . Deste modo, vamos testar a contínuidade na fronteira.

Lembra do capítulo de continuidade? Então, a função será contínua no ponto x = 1 se os limites laterias forem iguais a função no ponto:

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = f ( 1 )

A função no ponto a gente já sabe,

f 1 = 0

Agora vamos avaliar o limite pela esquerda (ou seja, para valores menores que 1)

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = lim x → 1 - ⁡ x = 1

Opa! Repara o limite lateral não é igual a função no ponto. Em outras palavras,

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) ≠ f 1

Ou seja, essa função não é contínua, logo o teorema não é aplicável.

Resposta

A função não satifaz as hipóteses do teorema de Rolle, pois ela não é contínua.

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