Verifique se a função satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfaçam a conclusão do teorema do valor médio.

f x = e - 2 x , com domínio [ 0 , 3 ]

Passo 1

Vamos resolver essa questão de forma bem prática? Hehe O teorema do valor médio diz que uma equação ou função deve ser contínua em um intervalo [a,b] e derivável em (a,b). Sendo que existe um número c em (a,b) tal que:

f ' c = f b - f a b - a

Então tendo essas informações aí, a gente pode calcular de boaaa!

Passo 2

A nossa função f ( x ) é dada no enunciado e o intervalo onde ela é contínua e derivável também foi dada, logo

f ' c = f 3 - f 0 3 - 0

Substituindo o intervalo [0,2] na função,

f 3 = e - 6

f 0 = 1

Derivando a equação,

f ' x = - 2 e - 2 c

Agora, é só substituirmos,

- 2 e - 2 c = e - 6 - 1 3

2 c = ln ⁡ 1 - e - 6 6

c = - 1 2 ln ⁡ 1 - e - 6 6 ≈ 0,897

Note que esse valor está dentro do nosso intervalo e por isso satisfaz o teorema do valor médio.

Resposta

c = 0,897

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