Estude o exemplo 1 página 297 de [ST]. Em seguida, encontre os intervalos nos quais f (x) é crescente ou decrescente nos seguintes casos:

  1. f x = x 2 ln ⁡ x

Passo 1

Me chamo Yuri e hoje estou aqui para lhe ajudar com a resolução dessa atividade, hoje queremos encontrar os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente. Para encontrar os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente, precisamos analisar a derivada da função e estudar seus pontos críticos.

Primeiro iremos teremos que derivar a nossa função,

f ' x = d d x ( x 2 ln ⁡ x ) = x 2 ∙ d d x ln ⁡ x + ln ⁡ x ∙ d d x x 2

f ' x = x 2 ∙ 1 x + 2 x ln ⁡ x = x + 2 x ln ⁡ x

Passo 2

Iremos encontrar os pontos críticos, ocorrem onde a derivada se iguala a zero ou é indefinida. Vamos resolver f ' x = 0 para encontrar os pontos

x + 2 x ln ⁡ x = 0

x 1 + 2 ln ⁡ x = 0

Isso implica em x = 0 ou 1 + 2 ln ⁡ x = 0 ,o que resulta em x = e - 1 / 2 .

Passo 3

Agora iremos testar os intervalos determinados pelos pontos críticos e pela escolha de um ponto de teste em cada intervalo para determinar se a função é crescente ou decrescente.

  • Intervalo ( 0 , e - 1 / 2 ) : Escolhendo um ponto de teste x 1 nesse intervalo, temos 0 < x 1 < e - 1 / 2 . Avaliando a derivada nesse ponto, f ' x 1 é positivo, o que significa que a função é crescente nesse intervalo.
  • Intervalo e - 1 2 ,   + ∞ : Escolhendo um ponto de teste x 2 nesse intervalo, temos x 2 > e - 1 2 . Avaliando a derivada nesse ponto, f ' x 2 é positivo, o que novamente significa que a função é crescente nesse intervalo.

Portanto, a função f x = x 2 ln ⁡ x é crescente nos intervalos ( 0 ,   e - 1 2 ) e ( e - 1 2 , + ∞ ) , e não possui intervalos de decrescimento.

Resposta

Portanto, a função f x = x 2 ln ⁡ x é crescente nos intervalos ( 0 ,   e - 1 2 ) e ( e - 1 2 , + ∞ ) , e não possui intervalos de decrescimento.

Exercícios de Livros Relacionados

Sejaf x = tg ⁡ x . Mostre que f 0 = f ( π ) , mas não existe um número c em ( 0 ,π ) tal que f ' c = 0 . Por que isso não contradiz o Teorema de Rolle?
Mostre que a equação 2 x - 1 - s e nx= 0 tem exatamente uma raiz real.
Demonstre a identidade arcsen (x - 1)/(x + 1) = 2 arctg sqrt(x) - (pi)/(2)
Suponha que f seja uma função ímpar e derivável em toda a parte. Demonstre que para todo o número positivo b existe um número c ( - b , b ) tal que f ' c = f b b .
Dois corredores iniciam uma corrida no mesmo instante e terminam empatados. Demonstre que em algum momento durante a corrida, eles tinham a mesma velocidade. [Sugestão: Considere f t = g t - h ( t ) ,