13. Se - π 2 < a < b < π 2 , então tan ⁡ b - tan ⁡ a ≥ b - a .

Essa afirmação é verdadeira ou falsa?

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bom? Aqui o enunciado nos forneceu uma sequencia crescente de valores, onde temos que as constantes a e b estão entre - π 2 e π 2 e quer saber se

tan ⁡ b - tan ⁡ a ≥ b - a

Então, pessoal, questões deste tipo, normalmente a gente resolve usando o Teorema do Valor Médio.

Bora lá!

Passo 2

Para a função tan ⁡ x no intervalo a ,   b , temos aplicando as identidades trigonométricas, temos que

tan ⁡ b - tan ⁡ a = sec 2 ⁡ c ( b - a )

Onde c ∈ a ,   b .

Como sec 2 ⁡ x > 1 para todo x ∈ - π 2 , π 2 , temos que tan ⁡ b - tan ⁡ a > b - a .

Logo, a afirmação é verdadeira!

Resposta

Verdadeira.

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