Usando o Teorema do Valor Médio prove as desigualdades

b - a b < ln ⁡ b a < b - a a

Para quaisquer 0 < a < b .

Passo 1

Olá meu caro estudante, sei que está cansado, mas que tal mais uma questão? Depois que eu lhe explicar essa daqui, nunca mais terá duvidas sobre o teorema do valor médio. Para provamos a desigualdade pedida, podemos aplicar o teorema à função f x = ln ⁡ x no intervalo [ a , b ] .

O Teorema do Valor Médio estabelece que se f ( x ) é continua em [a,b] e diferenciavel em ( a . b ) , então existe um valor c no intervalo aberto ( a , b ) tal que:

f ' c = f b - f ( a ) b - a

Passo 2

Primeiro iremos começar provando a desigualdade b - a b < ln ⁡ b a .

Aplicando o teorema no intervalo, temos:

f ' c = ln ⁡ b - ln ⁡ a b - a

Derivando f x = ln ⁡ x , obtemos f ' x = 1 x . Então existe um c no intervalo tal que:

1 c = ln ⁡ b - ln ⁡ a b - a

Isolando a equação, obtemos

c = b e b - a

Como e b - a é sempre maior que 1, temos que c < b . Portanto:

1 c > 1 b

Substituindo 1 c de volta na equação anterior, obtemos:

ln ⁡ b - ln ⁡ a b - a > 1 b

Multiplicando ambos os lados por ( b - a ) , obtemos:

ln ⁡ b - ln ⁡ a > b - a b

ln ⁡ b a > b - a b

Agora, vamos provar a desigualdade da direita: ln ⁡ b a < b - a a

Passo 3

Aplicando o teorema para ln ⁡ x , temos:

f ' c = ln ⁡ b - ln ⁡ a b - a

Usando o valor de c que encontramos anteriormente,

1 c = ln ⁡ b - ln ⁡ a b - a

Como c < b , temos 1 c > 1 b .

Substituindo 1 c de volta na equação anterior, obtemos:

ln ⁡ b - ln ⁡ a b - a > 1 b

Multiplicando ambos os lados por ( b - a ) :

ln ⁡ b - ln ⁡ a > b - a b

Agora invertendo a igualdade

ln ⁡ b a < b - a b

E aqui terminamos nossa prova.

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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