Exercícios Resolvidos de Teorema de Rolle e Valor Médio

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Enunciado

Nos exercícios de 1 a 6 , verifique se o teorema de Rolle pode ser aplicado à f nos intervalos indicados

2 . f x = x 2 - 2 x ,         x ∈ - 1 ,   3

Passo 1

Para ver se a função satisfaz as hipóteses do teorema de Rolle temos que garantir que:

  • A função seja contínua para todo o intervalo fechado [ - 1,3 ] .
  • A função seja derivável para todo o intervalo aberto ( - 1,3 ) .
  • E f - 1 = f 3 !

Passo 2

A função f x = x 2 - 2 x é uma função polinomial, que é contínua para todo R . Assim, garantimos a primeira condição.

Passo 3

Como se trata de uma função polinomial, já sabemos que ela é diferenciável em todo o seu domínio. E nesse caso, o dominio dela é todo o R .

Assim, ela também é diferenciável no intervalo aberto ( - 1,3 ) .

Passo 4

Agora se testarmos os pontos na função para verificar a terceira condição:

f - 1 = - 1 2 - 2 - 1 = 3

f 3 = 3 2 - 2 3 = 3

Então, o Teorema de Rolle se aplica a essa função.

Resposta

Sim! O teorema de Rolle pode ser aplicado.

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