7 . Considere as afirmações a seguir

( I ) Seja f uma função diferencial em R tal que f - 3 = 5 e f 5 = - 3 . Então existe c ∈ ( - 3 , 5 ) tal que f ' c = - 1 ;

( I I ) Seja f uma função diferencial em R e suponha que existe c ∈ ( - 3 , 5 ) tal que f ' c = 0 . Então f - 3 = f ( 5 ) ;

( I I I ) Sejam f e g funções diferenciáveis em R tais que f ' x < g ' ( x ) para todo x ∈ ( - 3 , 5 ) e suponha, além disso, que f 5 > g ( 5 ) . Então f - 3 > g ( - 3 ) .

Podemos concluir com certeza que:

A : Todas as afirmações são verdadeiras.

B : Apenas a afirmação ( I ) é verdadeira.

C : Apenas as afirmações ( I ) e ( I I ) são verdadeiras.

D : Apenas as afirmações ( I I ) e ( I I I ) são verdadeiras.

E : Apenas as afirmações ( I ) e ( I I I ) são verdadeiras.

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Vamos avaliar cada afirmação separadamente e ver se ela é verdadeira ou falsa. Uma coisa que vai nos ajudar é o teorema do valor médio, ele diz o seguinte:

Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:

-   f é contínua no intervalo fechado [ a ,   b ] .

-   f é derivável no intervalo aberto ( a ,   b ) .

Então, existe um número c em ( a ,   b ) tal que

f ' c = f b - f ( a ) b - a

Vamos usar também o teorema de Rolle, que diz o seguinte:

Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:

-   f é contínua no intervalo fechado [ a ,   b ] .

-   f é derivável no intervalo aberto ( a ,   b ) .

-   f   a = f   ( b )

Então, existe um número c em ( a ,   b ) tal que f ' c = 0 .

Vamos para cima então!

Passo 2

Começando com a primeira afirmação ( I ) .

Nessa afirmação ele diz que f é diferencial logo ela já satisfaz as duas condições do teorema do valor médio, então a gente pode usar ele para achar f ' c , temos:

f ' c = f b - f ( a ) b - a

Usando que a = - 3 e b = 5 e substituindo os valores que temos, ficamos com:

f ' c = - 3 - 5 5 - ( - 3 )

⇒ f ' c = - 1

Então a ( I ) é verdadeira.

Passo 3

Agora vamos analisar a ( I I ) .

Afirmação se encaixa perfeitamente na situação do teorema de Rolle, só que tem um detalhe, ela usa o resultado do teorema para afirmar que uma das condições é satisfeita, no caso f a = f ( b ) .

Só que isso não é uma via de mão dupla, não é só porque uma função tem uma característica igual a do resultado que ela satisfaz todas as condições do teorema, mas uma função que satisfaz todas as condições do teorema vai ter o mesmo resultado.

Então essa afirmação é falsa.

Passo 4

Vamos avaliar agora a ( I I I ) .

Essa afirmação nos diz algumas coisas sobre as funções f e g e fala que f - 3 > g ( - 3 ) , para a gente ver se isso é verdade ou não vamos aplicar o teorema do valor médio para cada função.

Sabemos que   f ' x < g ' ( x ) para todo x ∈ ( - 3 , 5 ) , então isso é verdade para qualquer x = c que pegarmos nesse intervalo, então:

f ' c = f b - f ( a ) b - a

⇒ f ' c = f 5 - f ( - 3 ) 5 - ( - 3 ) = f 5 - f ( - 3 ) 8

E para g , temos:

g ' c = g b - g ( a ) b - a

⇒ g ' c = g 5 - g ( - 3 ) 5 - ( - 3 ) = g 5 - g ( - 3 ) 8

Passo 5

Agora vamos usar o fato de que f ' x < g ' ( x ) , então:

f 5 - f ( - 3 ) 8 < g 5 - g ( - 3 ) 8

⇒ f 5 - f - 3 < g 5 - g ( - 3 )

Da afirmação a gente sabe que f 5 > g ( 5 ) , então para o que encontramos ser verdadeiro temos que:

f - 3 > g ( - 3 )

Então a ( I I I ) está correta.

Logo a alternativa certa é a letra E .

Resposta

E : Apenas as afirmações ( I ) e ( I I I ) são verdadeiras

Exercícios de Livros Relacionados

Sejaf x = tg ⁡ x . Mostre que f 0 = f ( π ) , mas não existe um número c em ( 0 ,π ) tal que f ' c = 0 . Por que isso não contradiz o Teorema de Rolle?
Mostre que a equação 2 x - 1 - s e nx= 0 tem exatamente uma raiz real.
Demonstre a identidade arcsen (x - 1)/(x + 1) = 2 arctg sqrt(x) - (pi)/(2)
Suponha que f seja uma função ímpar e derivável em toda a parte. Demonstre que para todo o número positivo b existe um número c ( - b , b ) tal que f ' c = f b b .
Dois corredores iniciam uma corrida no mesmo instante e terminam empatados. Demonstre que em algum momento durante a corrida, eles tinham a mesma velocidade. [Sugestão: Considere f t = g t - h ( t ) ,