Em cada um dos itens abaixo, verifique que a função f ( x ) satisfaz as três condições do Teorema de Rolle no intervalo indicado. Em seguida, encontre todos os números que satisfazem a conclusão do Teorema.

f x = s e n x 2 ,   π 2 , 3 π 2

Passo 1

Verficando:

Sendo f a composição de uma função seno e de uma polinomial x 2 , é continua e derivável em R , então é contínua em π 2 , 3 π 2 .

Além disso, f π 2 = f 3 π 2 = 1

Passo 2

Encontrando os números c que satisfazem à conclusão:

f ' c = 0

- 1 2 cos ⁡ c 2 = 0

cos ⁡ c 2 = 0

Para o cosseno ter valor de zero, seu argumento deve estar em n π 2 , onde n pode variar de 1, 2, 3, ..., n.

c 2 = n π 2

c = n π

Resposta

A função satisfaz as três hipóteses e o número c que satisfaz à conclusão é n π .

Exercícios de Livros Relacionados

Sejaf x = tg ⁡ x . Mostre que f 0 = f ( π ) , mas não existe um número c em ( 0 ,π ) tal que f ' c = 0 . Por que isso não contradiz o Teorema de Rolle?
Mostre que a equação 2 x - 1 - s e nx= 0 tem exatamente uma raiz real.
Demonstre a identidade arcsen ⁡ x - 1 x + 1 = 2 arctg ⁡ x - π 2
Suponha que f seja uma função ímpar e derivável em toda a parte. Demonstre que para todo o número positivo b existe um número c ( - b , b ) tal que f ' c = f b b .
Dois corredores iniciam uma corrida no mesmo instante e terminam empatados. Demonstre que em algum momento durante a corrida, eles tinham a mesma velocidade. [Sugestão: Considere f t = g t - h ( t ) ,