Use o Teorema do Valor Médio para demonstrar a desigualdade

s e n a - s e n b ≤ | a - b | para todo a e b

Passo 1

Vamos dizer que temos uma função f x = s e n ( x ) e que b < a . Assim, f é contínua em [ b , a ] e derivável em ( b , a ) .

Passo 2

Uma vez que f satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle, esse teorema afirma que existe um número c em ( b , a ) tal que f ' c = 0 . Portanto:

s e n a - s e n b = f a - f b = f ' c a - b

f ' c = c o s ⁡ ( c ) , então:

s e n a - s e n b = f a - f b = c o s ⁡ ( c ) ( a - b )

| s e n a - s e n ( b ) | ≤ | c o s ⁡ ( c ) | b - a ≤ | a - b |

Se temos a < b :

s e n a - s e n b = s e n b - s e n a ≤ b - a = | a - b |

Se temos a = b , os dois lados da inequação são 0.

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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