Em cada um dos itens abaixo, verifique que a função f ( x ) satisfaz as três condições do Teorema de Rolle no intervalo indicado. Em seguida, encontre todos os números que satisfazem a conclusão do Teorema.

f ( x ) = x 3 - 3 x + 2 , [ - 2 , 2 ]

Passo 1

Essa é uma questão para testarmos a validade do Teorema de Rolle, que basicamente diz que: se (i) a função for contínua num intervalo fechado [ a , b ] ; (ii) se ela for derivável no aberto ( a , b ) ; (iii) se f ( a ) = f ( b ) (ela ter os mesmos valores nos extremos do intervalo), então deve existir um número c dentro do intervalo ( a , b ) onde a derivada se anula ( f ' ( c ) = 0 ) .

O que precisamos fazer é verificar que a função dada satisfaz as três hipóteses mencionadas acima e daí tentar encontrar os pontos em que a derivada da função se anula.

Passo 2

Bom, como a função é um polinômio, ela é contínua e derivável em toda parte, de modo que as duas primeiras condições são automaticamente satisfeitas. Além disso, note que f - 2 = - 8 + 6 + 2 = 0 e f 2 = 8 - 6 + 2 = 4 . Então, como f ( - 2 ) ≠ f ( 2 ) , a terceira hipótese não é satisfeita: assim, o Teorema de Rolle NÃO é válido!!!

Resposta

Não é válido o Teorema de Rolle

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