Exercícios Resolvidos de Teorema de Rolle e Valor Médio

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Enunciado

Sejam a , b e c números reais tais que:

a 3 + b 2 + c = 0

Mostre que o polinômio p x = a x 2 + b x + c possui ao menos uma raíz no intervalo 0,1 .

Dica: Use o polinômio:

f x = a 3 x 3 + b 2 x 2 + c x

Passo 1

Vamos começar substituindo os extremos do intervalo no polinômio da dica.

f 0 = 0

f 1 = a 3 + b 2 + c = 0

Como a função vale zero nos extremos do intervalo, então pelo teorema de Rolle, garantimos que f ' x é zero em algum momento do intervalo.

Passo 2

Tudo bem, mas e o que isso tem a ver? Vamos derivar f x para tentar descobrir:

f ' x = a 3 x 3 + b 2 x 2 + c x = a x 2 + b x + c

Veja que:

f ' x = p x

Assim, como garantimos no passo anterior que f ' x tem uma raiz no intervalo proposto, concluímos também que p x tem um zero nesse mesmo intervalo, já que os dois são iguais!

Resposta

Pelo teorema de Rolle, garatímos que f ' x tem uma raiz em 0,1 . Como f ' x = p x , então p x tem raiz nesse intervalo.

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