Exercícios Resolvidos de Teorema de Rolle e Valor Médio

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Enunciado

ME01) Sejam g : I R → I R dada por g x = x 3 - 3 x e c ∈ I R cuja existência é garantida pelo Teorema do Valor Médio para g no intervalo - 4,2 . O valor de c é:

  1. - 1
  2. 0
  3. 2
  4. 1
  5. - 2

Passo 1

Essa questão já dá o pulo do gato pra gente: temos que usar o Teorema do Valor Médio (pros íntimos, TVM). Então vamos enunciar ele aqui: dada uma função contínua g no intervalo a , b e derivável no intervalo a , b , então existe c ∈ a , b tal que:

g ' c = g b - g a b - a

E veja só! A função g x é um polinômio, portanto contínua e diferenciável em todo I R . Já que podemos usar o TVM, sendo:

a = - 4 b = 2 g x = x 3 - 3 x

Vamos ter, pro lado direito da fórmula do TVM:

g b - g a b - a = 2 3 - 3.2 - - 4 3 - 3 . - 4 2 - - 4

g b - g a b - a = 8 - 6 - - 64 + 12 2 + 4

g b - g a b - a = 2 + 52 6 = 27 3

Para o lado esquerdo agora:

g x = x 3 - 3 x

g ' x = 3 x 2 - 3

g ' c = 3 c 2 - 1

Igualando os dois lados:

3 c 2 - 1 = 27 3

c 2 - 1 = 27 9

c 2 = 27 9 + 1

c 2 = 27 9 + 9 9 = 36 9 = 4

Tirando o quadrado, achamos:

c = ± 2

Como c ∈ a , b , um intervalo aberto, que no caso seria c ∈ - 4 , c , vamos ter que excluir o resultado positivo. Fechamos então com:

c = - 2

Resposta

L e t r a   E

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