Exercícios Resolvidos de Teorema de Rolle e Valor Médio

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Enunciado

Mostre que g x = 8 x 3 + 30 x 2 + 24 x + 10 admite uma única raiz no intervalo ( - 3 , - 2 ) .

Passo 1

Bom, já que a função é contínua e

g - 3 = - 8 < 0

g - 2 = 18 > 0

Podemos afirmar que existe uma raiz entre - 3 e - 2 . Agora precisamos provar que nesse intervalo não existe mais nenhuma outra raiz.

Passo 2

Como vamos fazer isso? Lembra do Teorema de Rolle? Ele diz que se uma função contínua em um intervalo fechado e diferenciável dentro desse intervalo tem dois valores iguais nesse intervalo, então necessariamente existe algum ponto nesse intervalo onde a derivada é nula. Como isso nos ajuda? Bom, se houver duas raízes entre - 3 e - 2 então deve haver um ponto nesse intervalo onde a derivada é zero. Então vamos derivar a função.

g ' x = 24 x 2 + 60 x + 24 = 12 ( x + 2 ) ( 2 x + 1 )

Analisando o sinal de g ' , temos que

g ' x > 0

dentro do intervalo ( - 3 ,   - 2 ) .

Logo, não há g ' x = 0 em ( - 3 ,   - 2 ) , portanto não há mais de uma raiz nesse intervalo, visto que a função não muda de sinal e, por isso, não cruza o eixo x .

Resposta

Demonstrado

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