Seja f x = 2 - 2 x - 1 . Mostre que não existe um valor c tal que f 3 - f 0 = f ' ( c ) ( 3 - 0 ) . Por que isso não contradiz o Teorema do Valor Médio?

Passo 1

Bom galera, antes de começar vamos lembrar o Teorema do Valor Médio, ok?

Ele nos diz que:

Olha como ele é igual aquela equação que aparece no enunciado, se a gente a gente fizer a = 0 e b = 3 :

f 3 - f 0 = f ' ( c ) ( 3 - 0 )

Precisamos provar que não existe um valor de c que faça isso ser verdade!

Então ambos os lados devem ser idênticos, certo? Então vamos analisar cada termo separadamente e substituir nessa equação..

Passo 2

Começando por f 3 - f 0 . Substituindo 3 e 0 na função :

f 3 = 2 - 2 × . 3 - 1 = - 3

f 0 = 2 - 2 . × 0 - 1 = 1

Sendo assim:

f 3 - f 0 = - 3 - 1 = - 4

Então o outro lado da igualdade também deve ser igual a -4, não é?

Para saber se isso realmente acontece vamos derivar a função. Como envolve módulo faremos isso por partes.

Passo 3

f x = 2 - 2 x - 1

Como o termo 2 x - 1 está dentro do módulo ele pode ser maior ou menor que zero, se lembram?

2 x - 1 = 2 x - 1 > 0 ,     x ≥ 1 2 2 x - 1 ≤ 0 ,     x < 1 2 { 2 x - 1 > 0 → x ≥ 1 2     2 x - 1 ≤ 0 → x < 1 2

Então:

f x = 2 - ( 2 x - 1 ) ,     s e   x ≥ 1 2 2 + ( 2 x - 1 ) ,     s e   x < 1 2 { 2 - 2 x - 1 = 3 - 2 x ,     s e   x ≥ 1 2     2 + 2 x - 1 = 1 + 2 x ,         s e   x < 1 2

f x = 3 - 2 x ,     x ≥ 1 2 1 + 2 x ,     x < 1 2

Derivando:

f ' x = - 2 ,     x ≥ 1 2 2 ,     x < 1 2

Passo 4

Agora que calculamos a derivada, vamos olhar de novo pra equação que o enunciado nos dá. A gente tava calculando o lado direito dessa equação.

f 3 - f 0 = f ' ( c ) ( 3 - 0 )

f ' x = { - 2 ,     s e   x ≥ 1 2     2 ,                     s e   x < 1 2

Temos duas derivadas possíveis. No lado direito da igualdade, temos que:

3 - 0 = 3

A derivada que a gente calculou tem 2 valores possíveis

f ' x = - 2 ,     x ≥ 1 2 2 ,     x < 1 2

Para Então s e   x ≥ 1 2 :

f ' c 3 - 0 = - 2.3 = - 6

E para x < 1 2 :

f ' c 3 - 0 = 2.3 = 6

Nenhum desses dois valores é igual ao lado da esquerdo da equação. Lembra que, no passo 2, calculamos que f 3 - f 0 = - 4 ?

Ou seja, Ppara qualquer valor de x

f 3 - f 0 ≠ f ' ( c ) ( 3 - 0 )

E isto contradiz o Teorema do Valor Médio!

No entanto, se f ' c não existisse, isto não contradiria o Teorema.

Resposta

Se f ' c não existisse, isto não contradiria o Teorema!

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