Determine o número de raízes reais distintas que o polinômio

P x = x 4 4 - 8 x 3 3 + 5 x 2 2 - 40 x + 1

possui.

Dica: Use o Teorema do valor médio para mostrar que P ( x ) possui no máximo 2 raízes reais distintas e em seguida o Teorema do Valor Intermediário para garantir a existência delas.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar o número de raízes reais do polinômio P ( x ) e ele já nos deu a dica de usarmos os teoremas do valor médio e do valor intermediário pra isso.

Então, vamos começar relembrando esses teoremas. O teorema do valor médio (TVM) nos diz que se temos uma função f contínua em um intervalo fechado [ a ,   b ] e derivável no intervalo aberto ( a ,   b ) , então existe um número c ∈ ( a ,   b ) tal que

f ' c = f b - f ( a ) b - a

Isso quer dizer que a inclinação da reta tangente nesse ponto c vai ser igual a inclinação da reta secante nesse intervalo. Beleza, e o teorema do valor intermediário (TVI)? O TVI nos diz que se f é contínua em [ a ,   b ] e N é um número qualquer entre f ( a ) e f ( b ) , com f a ≠ f ( b ) , então existe um número c em ( a ,   b ) tal que

f c = N

E aí uma das aplicações desse teorema é a localização de raízes. Então, vamos usar o TVM pra mostrar que existem duas raízes no polinômio P ( x ) e usar o TVI pra localizar o intervalo dessas raízes.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar dando uma olhada na nossa função polinomial:

P x = x 4 4 - 8 x 3 3 + 5 x 2 2 - 40 x + 1

Como se trata de um polinômio, a gente já pode garantir que ele será contínuo e derivável em qualquer intervalo. Além disso, como esse é um polinômio de grau 4 , já sabemos que ele vai ter no máximo 4 raízes reais e que ele pode ter no mínio 2 raízes reais (porque as outras raízes seriam complexas e raízes complexas só podem existir em pares conjugados).

Como a função é contínua e derivável, vai existir um número c entre a e b tal que f ' c = 0 . Assim, calculando a derivada da função f x = x 4 4 - 8 x 3 3 + 5 x 2 2 - 40 x + 1 , vamos ter:

f ' x = x 3 - 8 x 2 + 5 x - 40

Calculando f ' ( c ) e igualando a zero:

c 3 - 8 c 2 + 5 c - 40 = 0

c - 8 c 2 + 5 = 0

Dessa forma, temos:

c - 8 = 0 → c = 8

c 2 + 5 = 0 → c 2 = - 5 → c = ± 5 i

Repare que encontramos apenas uma raíz real para f ' c = 0 . Se a gente supor que existem 3 raízes a ,   b ,   d para P ( x ) , com a < b < d , então f a = f b = f ( d ) pelo teorema do valor médio. E de acordo com o teorema de Rolle, existiriam números c 1 e c 2 tal que a < c 1 < b e b < c 2 < d , e f ' c 1 = f ' c 2 = 0 . Logo, f ' ( x ) deve ter pelo menos duas raízes reais como solução, o que não acontece.

Então, a gente prova por contradição que f ( x ) pode ter no máximo duas raízes reais.

Passo 3

Agora para encontrar os intervalos onde essas raízes existem, precisamos verificar os pontos onde ocorre mudança de sinal na função. Porque isso significa que a curva passou pelo eixo e deixou de ser negativa pra ser positiva (ou vice-versa).

Assim, testando P ( 0 ) , vamos ter:

P 0 = 0 4 4 - 8 0 3 3 + 5 0 2 2 - 40 0 + 1

P 0 = 1 > 0

E para P ( 1 ) , temos:

P 1 = ( 1 ) 4 4 - 8 1 3 3 + 5 1 2 2 - 40 1 + 1

P 1 = - 467 12 < 0

Logo, como a função é contínua, o teorema do valor intermediário afirma que existe um número c entre 0 e 1 tal que f c = 0 . Em outras palavras, P ( x ) tem pelo menos uma raíz no intervalo ( 0 ,   1 ) . E onde tá a outra raíz? A gente pode encontra-la calculando P ( 10 ) :

P 10 = ( 10 ) 4 4 - 8 10 3 3 + 5 10 2 2 - 40 1 0 + 1

P 1 0 = - 947 3 < 0

E para P ( 11 ) :

P 11 = ( 11 ) 4 4 - 8 11 3 3 + 5 11 2 2 - 40 11 + 1

P 11 = 4469 19 > 0

Portanto, existe uma raíz no intervalo ( 10 ,   11 ) pelo teorema do valor intermediário.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

E x i s t e m   n o   m á x i m o   d u a s   r a í z e s

E l a s   e s t ã o   n o   i n t e r v a l o   0 ,   1   e   ( 10 ,   11 )

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