Estude o exemplo 1 página 297 de [ST]. Em seguida, encontre os intervalos nos quais f (x) é crescente ou decrescente nos seguintes casos:

b) f x = x 2 e x

Passo 1

Olá meu caro colega, agora é a hora de resolvermos essa querida questão, aqui iremos encontrar os intervalos de crescimento ou decrescimento da função dada. Para encontrar os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente, precisamos analisar a derivada da função e estudar seus pontos críticos.

Primeiro precisamos encontrar a derivada de f ( x ) ,

f ' x = 2 x e x + x 2 e x = x e x 2 + x

Passo 2

Os pontos críticos ocorrem onde a derivada se iguala a zero ou é indefinida. Nesse caso, a derivada nunca é indefinida, mas podemos encontrar os pontos onde f ' x = 0 :

x e x 2 + x = 0

Isso implica que x = 0 (um dos fatores é zero) ou x =   - 2 . Portanto, temos dois pontos críticos: x = 0 e x = - 2 .

Passo 3

Hora do teste de intervalos, iremos dividir a reta real em 3 intervalos: - ∞ , - 2 ,   - 2,0 e   ( 0 ,   ∞ ) , e testar a derivada f ' ( x ) em um ponto de teste dentro de cada intervalo para determinar o sinal da derivada e, assim, identificar os intervalos de crescimento e decrescimento.

  • Intervalo ( - ∞ ,   - 2 ) :Escolhendo x 1 em ( - ∞ ,   - 2 ) , temos x 1 < - 2 . Avaliando f ' ( x 1 ) , obtemos um valor negativo, o que significa que a derivada é negativa nesse intervalo, indicando um comportamento decrescente.
  • Intervalo ( - 2 , 0 ) : Escolhendo x 2 em ( - 2 ,   0 ) , temos - 2 < x 2 < 0 . Avaliando f ' ( x 2 ) , obtemos um valor positivo, o que significa que a derivada é positiva nesse intervalo, indicando um comportamento crescente.
  • Intervalo ( 0 ,   ∞ ) : Escolhendo x 3 em 0 , ∞ , temos x 3 > 0 . Avaliando f ' ( x 3 ) , obtemos um valor positivo, o que significa que a derivada é positiva nesse intervalo, indicando um comportamento crescente.

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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