Exercícios Resolvidos de Teorema de Rolle e Valor Médio

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Enunciado

Seja f : - 1,2 ⟶ R contínua em - 1,2 , diferenciável em ( - 1 ,   2 ) , com f - 1 = - 1 e f 2 = 5 . Prove que existe um ponto no gráfico de f em que a reta tangente é paralela à reta y = 2 x .

Passo 1

Para duas retas serem paralelas seus coeficientes angulares devem ser iguais. Logo, precisamos provar que existe um ponto em f cuja reta tangente tem coeficiente angular igual a 2 , ou seja, f ' x = 2 . Como vamos fazer isso se não sabemos como é a função f ? Isso mesmo, usando o TVM! Esse teorema diz que:

se uma função é contínua em [ a , b ] e derivável em ( a , b ) então existe um número c pertencente a ( a , b ) tal que a reta tangente ao gráfico de f traçada pelo ponto ( c , f ( c ) ) é paralela à reta que passa por ( a , f ( a ) ) e b , f b , isto é, f ' c = f b - f ( a ) b - a

Então, usando o intervalo ( - 1,2 ) dado no enunciado, podemos fazer

f ' c = f 2 - f ( - 1 ) 2 - ( - 1 )

E ver se f ' c = 2 . Vamos nessa.

f ' c = f 2 - f ( - 1 ) 2 - ( - 1 ) = 5 - ( - 1 ) 3 = 6 3 = 2

Uhul! Deu certo, como f ' c = 2 podemos afirmar que existe um ponto no gráfico de f em que a reta tangente é paralela à reta y = 2 x .

Resposta

Demonstrado

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