Seja f : R → R uma função derivável. O gráfico de sua derivada está ilustrado abaixo.

A afirmação que pode não estar correta é:

a) f 6 - f 4   ϵ   [ 0 ,   2 ]

b) f 6 - f 3   ϵ   [ 3 ,   6 ]

c) f 3 - f 1   ϵ   [ 4 ,   6 ]

d) f 5 - f 3   ϵ   [ 0 ,   4 ]

e) f 7 - f 4   ϵ   [ 0 ,   9 ]

Passo 1

Lembra do Teorema do valor médio? É isso que a gente vai usar pra sair dessa situação aqui.

f ' c = f b - f ( a ) b - a

Sendo que esse c é um ponto existente entre b e a .

Passo 2

Analisando a primeira afirmação temos

f 6 - f 4   ϵ   0 ,   2

Observando o gráfico da derivada, observamos que no intervalo entre 4 e 6, sua derivada varia entre seu valor mínimo que é zero, e o máximo que é um. Logo

Para f ' c = 0

f ' c = f b - f ( a ) b - a

0 = f 6 - f ( 4 ) 2

0 = f 6 - f 4

Para f ' c = 1

1 = f 6 - f 4 2

f 6 - f 4 = 2

Então sabemos que a afirmação f 6 - f 4   ϵ   0 ,   2 é verdadeira.

Agora vamos ter que fazer o mesmo passo a passo pras outras alternativas.

Passo 3

Analisando a primeira afirmação temos

f 6 - f 3   ϵ   3 ,   6

Observando o gráfico da derivada, observamos que no intervalo entre 3 e 6, sua derivada varia entre seu valor mínimo que é zero, e o máximo que é dois. Logo

Para f ' c = 0

f ' c = f b - f ( a ) b - a

0 = f 6 - f ( 3 ) 3

0 = f 6 - f 3

Para f ' c = 2

2 = f 6 - f 3 3

f 6 - f 3 = 6

Então sabemos que a afirmação f 6 - f 4   ϵ   2 ,   6 é falsa, pode ser ainda que esteja entre [ 0,2 ] também, segundo nosso teorema.

Passo 4

Analisando a primeira afirmação temos

f 3 - f 1   ϵ   4 ,   6

Observando o gráfico da derivada, observamos que no intervalo entre 1 e 3, sua derivada varia entre seu valor mínimo que é 2, e o máximo que é 3. Logo

Para f ' c = 2

f ' c = f b - f ( a ) b - a

2 = f 3 - f ( 1 ) 2

4 = f 3 - f 1

Para f ' c = 3

3 = f 3 - f 1 2

f 6 - f 4 = 6

Então sabemos que a afirmação f 3 - f 1   ϵ   4 ,   6 é verdadeira.

Passo 5

Analisando a primeira afirmação temos

f 5 - f 3   ϵ   0 ,   4

Observando o gráfico da derivada, observamos que no intervalo entre 3 e 5, sua derivada varia entre seu valor mínimo que é zero, e o mpaximo que é dois. Logo

Para f ' c = 0

f ' c = f b - f ( a ) b - a

0 = f 5 - f ( 3 ) 2

0 = f 5 - f 3

Para f ' c = 2

2 = f 5 - f 3 2

f 5 - f 3 = 4

Então sabemos que a afirmação f 5 - f 3   ϵ   0 ,   4 é verdadeira.

Passo 6

Analisando a primeira afirmação temos

f 7 - f 4   ϵ   0 ,   9

Observando o gráfico da derivada, observamos que no intervalo entre 4 e 7, sua derivada varia entre seu valor mínimo que é zero, e o máximo que é 3. Logo

Para f ' c = 0

f ' c = f b - f ( a ) b - a

0 = f 7 - f ( 4 ) 3

0 = f 7 - f 4

Para f ' c = 3

3 = f 7 - f 4 3

f 7 - f 4 = 9

Então sabemos que a afirmação f 7 - f 4   ϵ   0 ,   9 é verdadeira.

Resposta

l e t r a   b

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