Exercícios Resolvidos de Teorema de Rolle e Valor Médio

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Enunciado

A função abaixo satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio no intervalo dado? Justifique sua resposta.

f x = sen ⁡ x x , - π ≤ x < 0 0 , x = 0

Passo 1

Agora o intervalo a analisar é o intervalo definido da função, ou seja, [ - π , 0 ] .

Para ver se a função satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio temos que garantir que:

  • A função seja contínua para todo o intervalo fechado [ - π , 0 ] .
  • A função seja derivável para todo o intervalo aberto ( - π , 0 ) .

Passo 2

A função sen ⁡ x / x está definida para x = - π . Pois não acontece nenhuma divisão por zero, raiz ou log negativos nesse ponto.

O problema vem em x = 0 , onde teremos que testar a contínuidade da função. Lembra do capítulo de continuidade? Então. A função será contínua nesse ponto se:

lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = f ( 0 )

Sabendo que, por limite fundamental:

lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = l i m x → 0 - sen ⁡ x x = 1

E:

f 0 = 0

Como o limite lateral é diferente do valor da função no ponto ela é descontinua.

Com isso, a gente concluí que, infelizmente, a função não cumpre os requisitos do TVM.

“Eu teria escapado se não fossem essas crianças.” – d e   x ,   f u n ç ã o

Resposta

A função não satifaz as hipóteses do TVM. Justificativa no desenvolvimento.

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