Exercícios Resolvidos de Teorema de Rolle e Valor Médio

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Enunciado

ME01) Considere f : I R → I R uma função derivável com f 1 = 4 e f 3 = 8 , e considere as afirmações abaixo:

  1. f possui pelo menos uma raíz
  2. Para algum c ∈ 1,3 , vale que f c = 5
  3. Para algum c ∈ 1,3 , vale que f ' c = 2

Escolha a alternativa correta:

  1. Somente A é verdadeira
  2. Somente B é verdadeira
  3. Somente C é verdadeira
  4. A e B são verdadeiras
  5. B e C são verdadeiras
  6. Todas são verdadeiras
  7. Todas são falsas

Passo 1

Vamos lá. Pra começar, note que sabemos pouquíssimo sobre a função. Na verdade, só sabemos dois pontos dela:

Mas veja bem, f é derivável, logo ela tem que ser uma função contínua. Se ela é contínua, tem infinitas formas de desenharmos a função saindo de A e indo até B , mas todas as formas dão pra desenhar sem tirar a caneta do papel. Então, por exemplo, poderíamos desenhar assim:

Agora, vamos ver as alternativas, beleza?

Passo 2

A letra A diz que a função tem pelo menos uma raiz. Bem, nesse nosso primeiro esboço, em laranja, a função não tem. Mas ela bem poderia ter, né não? Nesse caso, poderíamos esboçar a curva bege também, que na verdade tem duas raízes:

Ou a raiz poderia estar fora do intervalo 1,3 , quem sabe? Bem, se não temos informações o suficiente pra provar que a função tem pelo menos uma raiz, é porque a afirmativa é falsa!

Passo 3

Bora pra afirmativa B . Veja bem, ela diz que vai existir qualquer valor x = c que faça com que f c seja igual à 5 . Será que isso é verdade? Olhe bem os nossos dois primeiros esboços:

E veja só! Mesmo que a gente não saiba quem é o c , nos dois esboços a curva passa por y = 5 ! E isso cai exatamente no Teorema do Valor Intermediário. Já que f é contínuo entre 1,3 , vai existir pelo menos um c ∈ 1,3 tal que f c = 5 , uma vez que f 1 < 5 < f 3 . Logo, verdadeiro!

Passo 4

E pra fechar, vamos analisar a afirmativa C . Como ela fala de f ' c = 2 , o que ela esta dizendo é que a inclinação da reta tangente vai ser igual a 2 em algum ponto entre 1 e 3 . Meio doido de pensar mas veja bem o que acontece se eu ligar os pontos A e B por uma reta:

Eu posso pensar na inclinação dessa reta como sendo:

α = 8 - 4 3 - 1 = 4 2 = 2

Opa, então essa reta tem inclinação 2 ! Se eu transportar essa reta, com a mesma inclinação, para um ponto de tangência, aqueles dois esboços bem diferentes vão ter correspondência, saca só:

Eu não sei vocês mas eu acho isso lindo! As retas tangentes em um x qualquer, igual à c , mesmo que pra esboços diferentes (logo c ’s diferentes), já que são paralelas a que traçamos inicialmente, tem sim inclinação 2 ! E isso cai exatamente na definição de Teorema do Valor Médio:

Seja:

a = 1 b = 3 f a = 4 f b = 8

Temos então realmente:

f ' c = 8 - 4 3 - 1 = 4 2 = 2

Então a afirmativa B e essa, a C , estão corretas! Resposta final é a Letra E

Resposta

L e t r a   E

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