Seja f : a , b → R derivável em ( a , b ) . Suponha que f a = f b = 0 . Prove que existe um ponto no intervalo [ a , b ] tal que f ' x = k f x ,     k ∈ R .

Dica: Use uma função auxiliar p x = f x e - k x

Passo 1

Faaala, galerinha do mal. Temos que deixar alguns gatilhos na mente, por exemplo o Teorema de Rolle usa essa condição de f a = f ( b ) , vamos tentar aplicá-lo usando a dica.

Observe que como e - k x é infinitamente derivável e f x é derivável em ( a , b ) , temos que p x = f x e - k x é uma função derivável em ( a , b ) e, portanto, contínua em [ a , b ] (nas extremidades apenas por hipótese). Além disso,

p a = f a e - k a = 0                 p b = f b e - k b = 0

⇒ p a = p ( b )

Dadas estas condições, o Teorema de Rolle garante que deve haver c ∈ ( a , b ) tal que

p ' c = 0

Passo 2

Contudo,

p ' x = f x e - k x ' = f ' x e - k x   + f x - k e - k x

Logo, para este c :

f ' c - k f c e - k c = 0     ,       e - k c > 0 ⇒ f ' c - k f c = 0

⇒ ∀ k ∈ R ,   ∃ c ∈ a , b   :   f ' c = k f c

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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