Exercícios Resolvidos de Teorema de Rolle e Valor Médio

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Enunciado

Se e 5 2 < a < b < e 3 então:

ln ⁡ b b - ln ⁡ a a b - a

  1. ] - 1 2 e 3 , - 1 e 4 [
  2. ] - 1 e 4 , - 3 2 e 5 [
  3. ] - 3 2 e 5 , - 2 e 6 [
  4. ] - 2 e 6 , - 3 e 8 [
  5. ] - 3 e 8 , - 4 e 10 [

Passo 1

O primeiro passo pra resolver essa questão é olhar bem pra esse número doido do enunciado e ver que ele parece muito algo que conhecemos: O Teorema do Valor Médio! Dá uma olhada nos dois, um do lado do outro:

f ' c = f b - f a b - a   ;       c ∈ a , b

ln ⁡ b b - ln ⁡ a a b - a

Não que é bem parecido? Se considerarmos que:

f b = ln ⁡ b b

f a = ln ⁡ a a

Ai sim as duas expressões são iguais! Sendo então:

f x = ln ⁡ x x

Podemos reescrever o número do enunciado como:

ln ⁡ b b - ln ⁡ a a b - a = f ' c

E derivando f ' x , temos, pela regra do quociente:

f ' x = ln ⁡ x x '

f ' x = x ln ⁡ x ' - ln ⁡ x x ' x 2

f ' x = x 1 x - ln ⁡ x x 2

f ' x = 1 - ln ⁡ x x 2

E logo:

ln ⁡ b b - ln ⁡ a a b - a = f ' c = 1 - ln ⁡ c c 2

Passo 2

Show, então na prática o que queremos saber é em que intervalo f ' c está contido, sabendo que como:

c ∈ a , b

Vale:

e 5 2 < c < e 3

Só que olha a malandragem que faremos agora. Pega a função f ' x :

f ' x = 1 - ln ⁡ x x 2

Como será o comportamento gráfico dessa função? Bem, fazendo a primeira derivada dela a gente consegue ter uma ideia! Então derivando esse carinha ai, pela regra do quociente, vamos ter:

f ' ' x = 1 - ln ⁡ x x 2 '

f ' ' x = x 2 1 - ln ⁡ x ' - 1 - ln ⁡ x x 2 ' x 4

f ' ' x = x 2 - 1 x - 1 - ln ⁡ x 2 x x 4

f ' ' x = x - 1 x - 1 - ln ⁡ x 2 x 3

f ' ' x = - 1 - 2 + 2 ln ⁡ x x 3 = - 3 + 2 ln ⁡ x x 3

Agora, vamos ver os pontos críticos de f ' ' x . Assim, conseguimos entender invervalos de crescimento e decrescimento de f ' x :

f ' ' x = - 3 + 2 ln ⁡ x x 3 = 0

- 3 + 2 ln ⁡ x = 0

ln ⁡ x = 3 2

x = e 3 2

Usando intervalos que envolvam o ponto acima e x = 0 , que não está definido, temos:

0 , e 3 2

e 3 2 , + ∞

Pro primeiro intervalo podemos testar x = e e pro segundo, x = e 2 . Vamos ter:

f ' ' e = - 3 + 2 ln ⁡ e e 3 = - 1 e 3 < 0

f ' ' e 2 = - 3 + 2 ln ⁡ e 2 e 6 = 1 e 6 > 0

Opa, chegamos a uma conclusão interessantíssima! Se a primeira derivada de f ' x , isto é, f ' ' x , é positiva pra x > e 3 2 , então f ' x é estritamente crescente no intervalo e 3 2 , + ∞ . O que quer dizer que não somente:

e 5 2 < c < e 3

Como também:

f ' e 5 2 < f ' c < f ' e 3

E como sabemos a expressão de f ' x isso ai é calculável! Mão na massa!

Passo 3

Sendo então:

f ' x = 1 - ln ⁡ x x 2

f ' e 5 2 < f ' c < f ' e 3

Temos:

f ' e 5 2 = 1 - ln ⁡ e 5 2 e 5 2 2 = 1 - 5 2 e 5 = 2 2 - 5 2 e 5 = - 3 2 e 5 = - 3 2 e 5

f ' e 3 = 1 - ln ⁡ e 3 e 3 2 = 1 - 3 e 6 = - 2 e 6

Por fim temos:

- 3 2 e 5 < f ' c < - 2 e 6

- 3 2 e 5 < ln ⁡ b b - ln ⁡ a a b - a < - 2 e 6

E prontinho! A resposta certa é a letra C então, uma vez que ela é exatamente o intervalo encontrado acima

Resposta

L e t r a   C

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