Mostre que a equação x 3 + x 2 - 5 x + 1 = 0 admite três raízes reais distintas.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para mostrar que a equação x 3 + x 2 - 5 x + 1 = 0 admite três raízes reais distintas.

Para podermos resolver isso, temos que derivar a função e igualar a zero para podermos analisar através do Teorema do Valor Intermediário.

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... Derivando a função e igualando a zero, temos:

3 x 2 + 2 x - 5 = 0 ∴

x = 1

x = - 5 3

Passo 3

Pelo Teorema do Valor intermediário, temos que se f é contínua sobre o intervalo fechado a , b e L é um número real tal que f a < L < f ( b ) ou f b < L < f ( a ) então existe pelo menos um ponto c em a , b tal que f c = L .

Nesses pontos, f muda de sentido, ou seja:

f 0 = 0 3 + 0 2 - 5 * 0 + 1 = 1

E

f 1 = 1 3 + 1 2 - 5 * 1 + 1 = - 2

Aqui, percebemos que f muda de sentido, logo há uma raiz entre 1 e 2 .

Passo 4

Ainda, temos:

f 2 = 2 3 + 2 2 - 5 * 2 + 1 = 3

Logo, percebemos que há outra raiz entre 1 e 2 .

E, por fim, temos:

f - 2 = - 2 3 + - 2 2 - 5 * - 2 + 1 = 7

E

f - 3 = - 3 3 + - 3 2 - 5 * - 3 + 1 = - 2

Aqui, percebemos que f muda de sentido, logo há uma raiz entre - 2 e - 3 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

0,1 ,   1,2 ,   - 2 , - 3

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