Mostre que a equação x 4 + 4 x + c = 0 tem no máximo duas raízes reais.

Passo 1

Olá, meu chamo Yuri e hoje irei lhe acompanhar na resolução dessa atividade. Hoje o que queremos provar é que a querida equação possui apenas duas raízes reais. Para mostrar que a equação x 4 + 4 x + c = 0 tem no máximo duas raízes reais, podemos usar a análise das variações da função polinomial f x = x 4 + 4 x + c e suas propriedades.

f ' x = 4 x 3 + 4

Passo 2

Primeiro iremos encontrar o mínimo de f ( x ) , e para encontrar os pontos críticos de uma função, basta f ' x = 0 , resolvendo nossa equação 4 x 3 + 4 = 0 , o que nos da x = - 1 como única solução real. Nesse ponto, temo um mínimo local, uma vez que a derivada muda de positiva para negativa ao passar por x = - 1 .

Outro ponto a se considerar, é a concavidade de f ( x ) , a derivada segunda f ' ' x = 12 x 2 é sempre positiva, o que significa que a função f ( x ) é concava para cima em toda sua gama de valores.

Passo 3

As duas conclusões que obtivemos significam que a função começa a aumentar rapidamente a partir de seu mínimo local em x =   - 1 e sua concavidade para cima impede que ela cruze o eixo x mais do que duas vezes. Portanto ela possui apenas duas raízes reais.

Resposta

Ver o solucionario.

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