Exercícios Resolvidos de Teorema de Rolle e Valor Médio

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Enunciado

Passo 1

O Teorema de Rolle só pode ser aplicado se a função é diferenciável no intervalo tratado.

Uma função polinomial, mesmo com módulo, será sempre continua no seu intervalo de domínio. Então, resta analisar a derivada na função:

f x = 1 - - x - 1 ,     x < 1 1 - ( x - 1 ) ,     x ≥ 1

= x ,     x < 1 2 - x ,     x ≥ 1

Derivando:

f ' x = x ' ,     x < 1 2 - x ' ,     x > 1

= 1 ,     x < 1 - 1 ,     x > 1

Pelas derivadas laterais, o ponto de mudança de domínio, x = 1 , vai ter derivadas laterais diferentes e, portanto, não será diferenciável:

f ' 1 + = - 1

f ' 1 - = 1

A função não é diferenciável em x = 1 .

Portanto, nada de Teorema de Rolle nesse intervalo.

Resposta

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