Supondo que I ⊂ R é um intervalo aberto, use o Teorema do Valor Médio para provar as afirmações seguintes:

  1. Se f ' x = 0 para todo x ∈ I , então C ∈ R tal que f x = C para todo   x ∈ I .
  2. Se f ' x = g ' ( x ) para todo x ∈ I . então g x = f x + C para todo x ∈ I

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

O primeiro consitui de um corolário poderoso do Teorema do valor médio: Se f ' ( x )   =   0 para todo x em um intervalo (a, b), então f é constante em (a, b). ou seja, se a derivada de uma função é nula, então a função é constante nesse ponto.

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

O segundo já é menos intuitivo, isto é, temos:

f ' x = g ' x

Se integrarmos de ambos os lados:

∫ f ' x d x = ∫ g ' x   d x

f x + C = g x + C

Mas o que é C?

Passo 3

C é uma constante qualquer, que pode assumir quaisquer valores dependendo das sua condições inicias. O C do lado de f(x) pode ser -1000,29244, 97545... Depende muito, e o mesmo do outro lado, logo se fizermos:

C - C

Pode não ser 0, pois podem ser valores diferentes, logo 2 C = C ,     C + C = C ,       C - C = C pois C não é até então um valor estabelecido, uma coisa que sabemos que é que ele sempre está ali, assim podemos fazer:

f x = g x + C

Ou mesmo o inverso:

g x = f x + C

Resposta

Está no passo a passo.

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