Exercícios Resolvidos de Teorema de Rolle e Valor Médio

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Enunciado

ME03) Seja g uma função contínua no intervalo - 1,2 e derivável em ] - 1,2 [ , que assume os valores g - 1 = 0 , g 0 = 4 , g 1 = 2 e g 2 = 2 . Considere as afirmações:

  1. A equação g x = 3 tem pelo menos uma solução no intervalo - 1,0
  2. A equação g x = 2 tem exatamente uma solução no intervalo - 1,0
  3. A função g admite um ponto crítico no intervalo ] - 1,2 [

Pode-se dizer com certeza que:

  1. Todas as afirmações são falsas
  2. Somente as afirmações I e I I I são verdadeiras
  3. Somente as afirmações I e I I são verdadeiras
  4. Todas as afirmações são verdadeiras
  5. Somente a afirmação I é verdadeira

Passo 1

Bora lá. Essa função não nos dá muita informação sobre quem é g x . Maaaaas, nos dá alguns pontos interessantes que podemos usar no Teorema do Valor Intermediário, que é descrito como:

Ou mesmo no Teorema de Rolle, que é descrito:

Passo 2

Vamos analisar cada afirmativa. Começando pela primeira, temos: A equação g x = 3 tem pelo menos uma solução no intervalo - 1,0 . Pelo TVI, temos que escolher

a = - 1 b = 0

E sabemos já que:

g - 1 = 0

g 0 = 4

Como g b = g 0 > g a = g - 1 e:

g - 1 = 0 < g x = 3 < g 0 = 4

De fato vamos ter pelo menos um x ∈ - 1,0 que satisfaça g x = 3

Passo 3

A equação g x = 2 tem exatamente uma solução no intervalo - 1,0

Pre resolver a segunda afirmativa, aproveitamos a deixa da primeira. Como

0 < 2 < 4

De fato vai existir pelo menos um x ∈ - 1,0 que satisfaça g x = 2 . No entanto, a garantia de que essa solução será única não pode ser dada. Só poderia se nesse intervalo a função fosse estritamente crescente, algo que não temos informações o suficiente pra provar

Passo 4

A função g admite um ponto crítico no intervalo ] - 1,2 [

Agora pra fechar com chave de ouro, vamos ver a última afirmativa. Essa aí da pra usar bem o Teorema de Rolle. Porque veja bem, do enunciado, seja:

a = 1 b = 2

Tendo:

g a = g b = 2

Então existe um x ∈ 1,2 tal que:

f ' x = 0

E não é que esse resultado é exatamente o resultado de um ponto crítico? Como o intervalo aberto 1,2 está contido dentro do intervalo aberto ] - 1,2 [ , a terceira afirmativa é verdadeira. Beleeeza, fechamos a questão. Vamos ter que I e I I I são verdadeiras. A letra certa é:

L e t r a   B

Resposta

L e t r a   B

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