Verifique se a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio:

f x = x x + 2 ,   [ 1,4 ]

Passo 1

Essa é uma questão para testarmos a validade do Teorema de Rolle, que basicamente diz que: se (i) a função for contínua num intervalo fechado [ a , b ] ; (ii) se ela for derivável no aberto ( a , b ) ; (iii) se f ( a ) = f ( b ) (ela ter os mesmos valores nos extremos do intervalo), então deve existir um número c dentro do intervalo ( a , b ) onde a derivada se anula ( f ' ( c ) = 0 ) .

O que precisamos fazer é verificar que a função dada satisfaz as três hipóteses mencionadas acima e daí tentar encontrar os pontos em que a derivada da função se anula.

Temos aqui um quociente de funções, então a ´primeira coisa é observar se o número que dá problema no denominador está dentro do intervalo. Note que o valor que daria problema no denominador é x = - 2 , pois teríamos uma divisão por zero. Como ele não está dentro do intervalo, f é contínua em [ 1,4 ] e derivável em ( 1,4 ) .

Passo 2

Derivando:

f ' c = 2 c + 2 2

f ' c = f b - f a b - a

2 c + 2 2 = f 4 - f 1 4 - 1 = 2 3 - 1 3 3 = 1 9

c + 2 2 = 18

c = - 2 ± 3 2  

c = - 2 + 3 2 , pois a outra raiz não está contida no intervalo 1,4

c ≈ 2.24 que satisfaz a conclusão pois está no intervalo ( 1,4 ) .

Resposta

A função satisfaz às hipóteses do Teorema do Valor Médio e o número c que satisfaz à conclusão é c ≈ 2.24 .

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