Exercícios Resolvidos de Teorema de Rolle e Valor Médio

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Enunciado

( c ) Seja f   :   R → R derivável tal que f 1 = 8 e f ' x ≥ 3 para todo x   ∈ ( 1,5 ) . Qual o menor valor possível para f ( 5 ) ? Justifique.

Passo 1

Olha só, se uma função tem um valor definido f 1 = 8 e que sua derivada no intervalo ( 1,5 ) é maior ou igual a 0 , sabemos que o seu menor crescimento, que gerará o menos valor em f ( 5 ) é justamente f ' x M i n = 3 . Com isso, o valor mínimo de f ( 5 ) será:

f 5 M i n = f 1 + f ' x M i n ( 5 - 1 )

f 5 M i n = 8 + ( 3 ) ( 4 )

f 5 M i n = 20

Se não pegou, imagina pelo Teorema do Valor Médio; temos que no intervalo ( 1,5 ) existe um número c tal que:

f ' c = f 5 - f 1 5 - 1

E temos f ' x ≥ 3 , Assim:

3 ≤ f 5 - f 1 5 - 1

f 5 ≥ 3 5 - 1 + ( 8 )

f 5 ≥ 20

Logo, o menor valor de f ( 5 ) é 20 .

Resposta

f 5 M i n = 20

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