Exercícios Resolvidos de Teorema de Rolle e Valor Médio

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Enunciado

12) Seja P uma função polinomial não constante.

a) Prove que, entre dois zeros consecutivos de P ' (isto é, dois valores de x que anulam a derivada e tal que entre eles não existe outro valor que anula a derivada), existe no máximo uma raiz de P .

Passo 1

Cara, eu sei que exercícios como esse é muuuuuito confuso. Eu particularmente já me confundi muito. Mas aprendi uma técnica que me ajudou muito e vai te ajudar também! Então simbora!

A técnica é uma velha amiga nossa, o esboço. Desenhar em um gráfico o que está sendo falado. Então venha comigo ;)

Passo 2

Ora! O problema fala de uma função polinomial qualquer P e fala da sua derivada P ' .

A derivada, geometricamente falando, representa o coeficiente da reta tangente. O que acontece quando a derivada tem um z e r o ? A reta tangente fica paralela ao eixo x , certo? Então se a derivada tem dois zeros consecutivos, a reta tangente fica paralela ao eixo x duas vezes, assim:

A curva em azul é a P e a reta tangente em preto representa o fato da derivada P ' se anular duas vezes consecutivo.

Note que no exemplo, a curva P nem tem zero nenhum, mas ela poderia ter um zero:

Mas 1 zero é o máximo que P   poderia ter nessas condições, pois se ela tivesse duas ou mais, não estaria entre os 2 pontos onde a derivada é 0 consecultivamente:

Sacou? Agora vamos provar isso matematicamente ;)

Passo 3

Vamos tentar uma prova que chamamos por absurdo. Vamos supor que de uma forma absurda, tem como da derivada P ' zerar apenas duas vezes e a função P ter mais de um zero no intervalo onde a derivada zerou.

Chamemos esse intervalo de [ a ,   b ] ...

P ' a = P ' b = 0

Vamos falar que o ponto que a curva P zera, seja c e d (dois pontos de uma forma absurda)...

P c = P d = 0

Onde esses pontos c e d , pertencem ao intervalo onde as derivadas se anulam...

c ,   d ∈ a ,   b

Pelo Teorema de Rolle existe um x dentro do intervalo c , d que...

P c - P d = P ' x

Como o intervalo c , d pertence ao intervalo maior a ,   b , existe um ponto do interior do intervalo a ,   b que está zerando a derivada também. O que é um absurdo, pois nós falamos que a derivada só zera em a e b de uma forma consecutiva, saca?

Se existisse de fato esse x , deixaria de ser consecutiva. Por isso só existe nó máximo uma raiz de P nesse caso

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