Exercícios Resolvidos de Teorema de Rolle e Valor Médio

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Enunciado

( b ) Mostre que, se a ≠ 0 e b 2 - 3 a c < 0 , então a equação a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 tem exatamente uma raiz real.

Passo 1

Pensa comigo, para mostrar que a função SÓ tem uma raiz nós temos que garantir duas coisas:

1 )   Que ela tenha a mesma tendência de variação em todo o seu domínio;

2 )   Que em + ∞ e - ∞ a função tenda para “infinitos diferentes”

Melhorando as explicações: na primeira condição eu quero dizer que precisamos garantir que a função sempre cresça ou sempre decresça; na segunda o objetivo é fazer com que

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = + ∞     e     lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = - ∞  

o u

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = - ∞     e     lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = + ∞

Para que eu garanta que ela vai explodir para os dois lados, o que garante que de fato o eixo x será cruzado. Essa segunda condição nós já garantimos pelo tipo de função com a qual estamos trabalhando: o limite desse polinômio para a < 0 ou para a > 0 dará certo para obter esses limites dissidentes pois o grau do polinômio é ímpar (no caso 3 ), o que faz com que o sinal do grau que manda no limite mude em relação aos limites para ± ∞ .

Passo 2

-

Assim, vamos concentrar na condição 1 , para que a função sempre cresça ou sempre decresça temos que garantir que seu sinal seja sempre o mesmo (ou sempre f ' x > 0 ou f ' x < 0 ). Isso acaba sendo a mesma coisa que provar que f ' ( x ) não tem raízes reais!

Vamos começar obtendo essa derivada:

f ' x = 3 a x 2 + 2 b x + c

Ora, é um polinômio do segundo grau. Podemos usar Bhaskara para determinar supostas raízes. Aliás, é mais prático observar se temos ou não raízes pelo ∆ = b 2 - 4 a c , lembra das condições?

∆ < 0 → N e n h u m a   r a i z   r e a l

∆ = 0 → U m a   r a i z   r e a l

∆ > 0 → D u a s   r a í z e s   r e a i s

Pelas constantes, nosso ficaria assim:

∆ = 2 b 2 - 4 3 a c = 4 b 2 - 12 a c

= 4 ( b 2 - 3 a c )

Espera, mas ele disse lá em cima que

b 2 - 3 a c < 0

Poxa, com isso nós concluímos:

∆ < 0 → N e n h u m a   r a i z   r e a l

Assim, garantimos que a função explodirá para opostos e sempre terá o mesmo regime de crescimento, garantindo que a função tem exatamente uma raiz.

OBS.: Pode ser Provada essa parte final da demonstração com o Teorema de Rolle: se considerarmos que f ' x nunca valerá 0 temos que não existe nenhum par de pontos a e b com f a = f ( b ) , garantindo que f ( x ) sempre crescerá ou decrescerá.

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