Exercícios Resolvidos de Teorema de Rolle e Valor Médio

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 284-9.

A função:

f x =   x ,     0 x < 1 0 ,                   x = 1 é zero quando x = 0 e x = 1 e derivável em   ( 0,1 ) , mas sua derivada em ( 0,1 ) nunca é zero. Explique por quê. O teorema de Rolle não diz que a derivada deveria ser zero em algum lugar em ( 0,1 ) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Pelo teorema de Rolle, de fato, temos que se:

f 0 = f 1 0 = 0

Então, existe c pertencente a ( 0,1 ) tal que:

f ' c = 0

Porém, para isso ser verdade, a função tem que satisfazer as condições a seguir:

  • A função é contínua para todo o intervalo fechado [ 0,1 ] .
  • A função é derivável para todo o intervalo aberto ( 0,1 ) .
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Passo 2

Precisamos testar a contínuidade na fronteira. Lembra do capítulo de continuidade? Então. A função será contínua no ponto x = 1 se:

lim x 1 - f ( x ) = lim x 1 + f ( x ) = f ( 1 )

Sabendo que:

lim x 1 - f ( x ) = lim x 1 - x = 1

E:

f 1 = 0

Nem é preciso analisar o limite lateral 1 + . Como o limite lateral é diferente do valor em 1 a função não é contínua, logo o teorema não é aplicável.

Resposta

A função não satifaz as hipóteses do teorema de Rolle. Justificativa no desenvolvimento.

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