George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 284-9.
A função:
é zero quando e e derivável em, mas sua derivada em nunca é zero. Explique por quê. O teorema de Rolle não diz que a derivada deveria ser zero em algum lugar em ? Justifique sua resposta.
Passo 1
Pelo teorema de Rolle, de fato, temos que se:
Então, existe pertencente a tal que:
Porém, para isso ser verdade, a função tem que satisfazer as condições a seguir:
- A função é contínua para todo o intervalo fechado .
- A função é derivável para todo o intervalo aberto .
Passo 2
Precisamos testar a contínuidade na fronteira. Lembra do capítulo de continuidade? Então. A função será contínua no ponto se:
Sabendo que:
E:
Nem é preciso analisar o limite lateral . Como o limite lateral é diferente do valor em 1 a função não é contínua, logo o teorema não é aplicável.
Resposta
A função não satifaz as hipóteses do teorema de Rolle. Justificativa no desenvolvimento.