(Capítulo 14.2 – Exercício 38)

Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.

f x , y = x y x 2 + x y + y 2                 s e   ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0                                                             s e   x , y = ( 0,0 )

Passo 1

Faaaala galera!

Ó se liga nesse exercício: temos uma função definida em partes (daquelas que são definidas de formas diferentes dependendo dos valores de x e y ), e aí queremos saber quando essa função é contínua, certo? Pra ser mais certeiro, queremos saber O MAIOR INTERVALO onde ela é contínua

Pra fazer isso, vamos:

A - Encontrar o intervalo de continuidade quando ( x , y ) ≠ ( 0,0 )

B - Verificar se função como um todo é contínua (incluindo o ponto ( 0,0 ) )

C - Se a função como um todo for contínua, o maior intervalo é todo o R ² . Caso contrário, é o intervalo encontrado no passo A

Show? Então vamos lá!

Passo 2

A função dada pelo enunciado é:

f x , y = x y x 2 + x y + y 2                 s e   ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0                                                             s e   x , y = ( 0,0 )

Inicialmente, para o passo A, vamos verificar se a função é contínua no intervalo em que ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) :

Por ser uma função racional, ela é contínua desde que o denominador seja diferente de zero. Assim,

x 2 + x y + y 2 = 0

x 2 + y 2 = - x y

Isso só acontece quando x , y = ( 0,0 ) . Porém, esse ponto não faz parte do domínio. Assim f ( x , y ) é contínua no intervalo onde ela está definida: x , y ≠ ( 0,0 )

Passo 3

Agora vamos para o passo B: temos que verificar se a função tem uma descontinuidade no ponto 0,0 . Para isso, devemos descobrir qual é o limite quando a função se aproxima de ( 0,0 ) .

Se o limite existir e for igual a 0 (que é o valor da função nesse ponto), a função é contínua.

L = lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 2 + x y + y 2  

Vamos aproximar a função pela reta x = 0 :

f 0 , y = 0 ⋅ y 0 + 0 ⋅ y + y 2 = 0

Vamos aproximar a função pela reta y = 0 :

f x , 0 = x . 0 x 2 + x . 0 + 0 = 0

Vamos aproximar a função pela reta y = x :

f x , x = x . x x 2 + x . x + x 2 = x 2 3 x 2 = 1 3

Opa! Como f ( x , y ) tem limites diferentes ao longo de duas diferentes linhas, o limite não existe!

Passo 4

Assim, vemos que f ( x , y ) possui uma descontinuidade no ponto ( 0,0 ) . Portanto, o maior conjunto no qual a função é contínua será todos os pontos, exceto o ( 0,0 ) , fechou?

Resposta

{ x , y | ( x , y ) ≠ ( 0,0 )   } .

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