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Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

Considere a função:

f x , y = s e n x + y 5 6 x 4 x 2 + y 2 x , y ≠ 0,0 0 x , y = 0,0

  1. A função f é contínua em R 2
  2. A função f é contínua somente na origem.
  3. A função f é contínua somente em R 2 - 0,0
  4. A função f não é contínua sobre os pontos da parábola y = - x 2
  5. Não sei

Passo 1

Perceba que a função f é contínua em todo R 2 , exceto o ponto 0,0 , pois é formada por funções contínuas, a saber, funções polinomiais e trigonométricas.

Passo 2

Para f ser contínua em 0,0 , devemos ter:

lim ( x , y ) → ( 0,0 ) ⁡ s e n x + y 5 6 x 4 x 2 + y 2 = f 0,0 = 0

Então vamos calcular esse limite. Podemos fazer:

lim ( x , y ) → ( 0,0 ) ⁡ s e n x + y 5 6 x 4 x 2 + y 2 = lim ( x , y ) → ( 0,0 ) ⁡ s e n x + y 5 6 x 2 . lim ( x , y ) → ( 0,0 ) ⁡ x 2 x 2 + y 2

Passo 3

Repare que:

lim ( x , y ) → ( 0,0 ) ⁡ s e n x + y 5 6 x 2 = s e n 0 . 0 = 0

Vamos para o outro limite.

Passo 4

Queremos estudar:

lim ( x , y ) → ( 0,0 ) ⁡ x 2 x 2 + y 2

Perceba que:

0 ≤ x 2 ≤ x 2 + y 2

0 ≤   x 2 x 2 + y 2     ≤ 1

Portanto, essa expressão é limitada.

Passo 5

Usando o teorema do anulamento:

lim ( x , y ) → ( 0,0 ) ⁡ s e n x + y 5 6 x 4 x 2 + y 2 = lim ( x , y ) → ( 0,0 ) ⁡ s e n x + y 5 6 x 2 . lim ( x , y ) → ( 0,0 ) ⁡ x 2 x 2 + y 2 = 0

Como

lim ( x , y ) → ( 0,0 ) ⁡ s e n x + y 5 6 x 4 x 2 + y 2 = f 0,0 = 0

A função é contínua também em 0,0 , e logo, em todo R 2

Resposta

a) A função f é contínua em R 2

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