Encontre uma equação da reta tangente e normal à curva x 2 + x y + y 2 = 3 no ponto ( 1 ,   1 ) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva x 2 + x y + y 2 = 3 no ponto ( 1 ,   1 ) . Pra isso, nós precisamos lembrar que a equação de uma reta de coeficiente angular m , passando por um ponto P 0 = ( x 0 ,   y 0 ) é dada por:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Além disso, a gente sabe que a derivada representa essa inclinação da reta, então podemos dizer que m = d y d x . Sendo assim, nós vamos precisar calcular a derivada implícita da expressão, aplica-la no ponto dado e substituir tudo na equação da reta tangente.

Já pra achar a equação da reta normal a curva, precisamos saber que o seu coeficiente angular n é o inverso negativo do coeficiente angular da reta tangente, ou seja:

n = - 1 m

Isso acontece porque as duas retas são perpendiculares. Assim, encontrando a equação da reta tangente, basta inverter o coeficiente angular e teremos a equação da reta normal.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar tomando a derivada em relação a x em ambos os lados da equação:

d d x x 2 + x y + y 2 = d d x ( 3 )

A derivada de uma constante é zero, então ficamos com seguinte:

d d x x 2 + x y + y 2 = 0

A derivada da soma é a soma das derivadas, então podemos separar os termos:

d d x x 2 + d d x x y + d d x y 2 = 0

Nos termos que dependem apenas da variável x , nós podemos derivar normalmente, usando a regra da potência ( d d x x n = n x n - 1 ):

2 x + d d x x y + d d x y 2 = 0

Nos termos que contém um produto, a gente deriva usando também a regra do produto:

2 x + x d d x y + y d d x ( x ) + d d x y 2 = 0

2 x + x d d x y + y + d d x y 2 = 0

E nos termos que dependem da variável y , nós também derivamos normalmente, mas multiplicamos pela derivada de y em relação a x , que é o y ' :

2 x + x y ' + y + 2 y y ' = 0

Então, isolando y ' :

y ' x + 2 y = - 2 x - y

y ' = - 2 x - y x + 2 y

Assim, no ponto ( 1 ,   1 ) , temos:

d y d x 1 ,   1 = - 2 1 - 1 1 + 2 ( 1 ) = - 3 3 = - 1

Portanto, o coeficiente angular da reta tangente é m = - 1 . Consequentemente, o coeficiente angular da reta normal será:

n = - 1 m = - 1 - 1 = 1

Passo 3

Substituindo na equação da reta com x 0 ,   y 0 = ( 1 ,   1 ) , temos:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

y - 1 = - 1 ( x - 1 )

y = - x + 2

Essa é a equação da reta tangente à curva. De modo semelhante, vamos ter a reta normal dada por:

y - 1 = 1 ( x - 1 )

y = x

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y = - x + 2 → r e t a   t a n g e n t e

y = x → r e t a   n o r m a l

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