Encontre y ' para cada uma das curvas abaixo:

( b )   y = ( 2 x 3 - x - 1 ) x

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que encontrar y ' para a seguinte curva definida como

y = ( 2 x 3 - x - 1 ) x

temos que obter

y ' = d y ( x ) d x

para derivar essa curva vamos ter que dar um jeito naquele expoente x , uma boa maneira de derrubar ele é usando propriedades do logaritmo, mas isso, nos forçará a usar derivação implícita! Consegue se lembrar de como fazer isso? Vem comigo!

Passo 2

Primeiro vamos derrubar o expoente, e para isso, vamos aplicar o logaritmo neperiano em ambos os lados, temos que

l n ( y ) = l n [ ( 2 x 3 - x - 1 ) x ]

usando a propriedade do logaritmo, temos que

l n ( y ) = x   l n ( 2 x 3 - x - 1 )

Agora podemos começar a derivar! Aplicando a derivada em relação a x em toda a expressão, temos que

d d x [ l n ( y ) ] = d d x [ x   l n ( 2 x 3 - x - 1 ) ]

O termo da esquerda é uma aplicação direta da regra da cadeia, o lado direito é uma mistura de regra do produto e regra da cadeia! Vamos começar pelo segundo!

Passo 3

Aplicando a regra do produto, temos que

d d x [ x   l n ( 2 x 3 - x - 1 ) ] = ( 1 ) l n   ( 2 x 3 - x - 1 ) + x   d d x l n ( 2 x 3 - x - 1 )

usando a regra da cadeia no segundo termo, temos que

d d x [ x   l n ( 2 x 3 - x - 1 ) ] = l n ( 2 x 3 - x - 1 ) + x 2 x 3 - x - 1 d d x [ 2 x 3 - x - 1 ]

ou resolvendo a derivada que resta pela regra do tombo

d d x [ x   l n ( 2 x 3 - x - 1 ) ] = l n ( 2 x 3 - x - 1 ) + x ( 6 x 2 + x - 2 ) 2 x 3 - x - 1

Vamos derivar o lado esquerdo agora!

Passo 4

O lado esquerdo é mais direto, aplicando a regra da cadeia, temos que

d d x [ l n ( y ) ] = 1 y y '

usando que

y = ( 2 x 3 - x - 1 ) x

temos que

d d x [ l n ( y ) ] = 1 ( 2 x 3 - x - 1 ) x y '

De maneira que podemos escrever

1 ( 2 x 3 - x - 1 ) x y ' = l n ( 2 x 3 - x - 1 ) + x ( 6 x 2 + x - 2 ) 2 x 3 - x - 1

e a derivada da nossa curva é

y ' = ( 2 x 3 - x - 1 ) x   l n ( 2 x 3 - x - 1 ) + ( 6 x 3 + x - 1 ) ( 2 x 3 - x - 1 ) x - 1

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

y ' = ( 2 x 3 - x - 1 ) x   l n ( 2 x 3 - x - 1 ) + ( 6 x 3 + x - 1 ) ( 2 x 3 - x - 1 ) x - 1

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