Considere a curva definida pela equação x 4 - y 4 + 12 x y = 7 .

(a) Calcule d y d x .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos pediu pra gente calcular a derivada de y em relação a x , d y d x , da equação x 4 - y 4 + 12 x y = 7 . Mas repare que x e y estão meio meio misturadinhos na equação, então podemos dizer que essa é uma expressão implícita.

E pra achar a derivada de uma expressão desse tipo, usamos a derivada implícita, certo? Então, vamos tomar a derivada em relação a x em ambos os lados da equação e nos termos em que tivermos um produto entre variáveis, usamos a regra do produto e acrescentamos y ' na derivada da variável y .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar tomando a derivada dos dois lados da equação:

d d x x 4 - y 4 + 12 x y = d d x ( 7 )

Como a derivada de constante é zero, ficamos com o seguinte:

d d x x 4 - y 4 + 12 x y = 0

A derivada da soma é a soma das derivadas, então podemos separar os termos:

d d x x 4 - d d x y 4 + d d x 12 x y = 0

Como o primeiro termo contém apenas x , nós podemos derivar normalmente, usando a regrinha da potência ( d d x x n = n x n - 1 ):

4 x 3 - d d x y 4 + d d x 12 x y = 0

Nas expressões que dependem também da variável y , nós consideramos ela uma função de x , ou seja, y ( x ) . Assim, nós acabamos usando a regra da cadeia na derivação, derivando a função de fora, que seria o y , e multiplicando pela derivada da função de dentro. Fica assim:

4 x 3 - 4 y 3 y ' + d d x 12 x y = 0

No último termo, como a gente tem um produto de funções, nós aplicamos também a regra do produto:

4 x 3 - 4 y 3 y ' + 12 y + 12 x y ' = 0

Passo 3

Agora vamos arrumar nossa expressão, colocando y ' em evidência:

y ' - 4 y 3 + 12 x = - 4 x 3 - 12 y

y ' = - 4 x 3 - 12 y - 4 y 3 + 12 x

Simplificando e escrevendo y ' = d y / d x :

d y d x = - x 3 + 3 y 3 x - y 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

d y d x = - x 3 + 3 y 3 x - y 3

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Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = xt gy
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub