Encontre y '

b) x 2 y 2 + x sin ⁡ y = 4

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada, y ' , da expressão implícita x 2 y 2 + x sin ⁡ y = 4 . E se essa é uma expressão implícita, nós vamos usar o quê? Isso mesmo, a derivação implícita.

Pra relembrar, na derivação implícita nós vamos derivar normalmente cada termo com y , como se tivesse derivando termos com a variável x , só que vamos acrescentar um espacinho em branco do lado. Nesse espacinho em branco nós vamos completar com o termo que representa a derivada de y em relação a x , que vai ser denotado por y ' . Depois basta isolar o y ' e encontramos nossa resposta.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar tomando a derivada em relação a x em ambos os lados da equação:

d d x x 2 y 2 + x sin ⁡ y = d d x ( 4 )

Como a derivada de constante é zero, ficamos com o seguinte:

d d x x 2 y 2 + x sin ⁡ y = 0

A derivada da soma é a soma das derivada, então podemos separar os termos:

d d x x 2 y 2 + d d x x sin ⁡ y = 0

Como a gente tem um produto entre as variáveis x e y nos dois termos, vamos precisar usar a regra do produto junto com a derivação implícita. Assim, vamos ter:

y 2 d d x x 2 + x 2 d d x y 2 + x d d x sin ⁡ y + sin ⁡ y d d x x = 0

Nos termos que dependem apenas da variável x , nós podemos derivar normalmente usando a regrinha da potência ( d d x x n = n x n - 1 ):

y 2 ( 2 x ) + x 2 d d x y 2 + x d d x sin ⁡ y + sin ⁡ y ( 1 ) = 0

2 x y 2 + x 2 d d x y 2 + x d d x sin ⁡ y + sin ⁡ y = 0

E nos termos que dependem da variável y , nós também derivamos usando a regra da potência, mas deixando o espacinho para preencher com a derivada de y em relação a x :

2 x y 2 + x 2 ( 2 y _ _ _ _ ) + x ( cos ⁡ y _ _ _ ) + sin ⁡ y = 0

2 x y 2 + 2 x 2 y y ' + x cos ⁡ y y ' + sin ⁡ y = 0

Agora colocando y ' em evidência:

2 x 2 y + x cos ⁡ y y ' = - sin ⁡ y - 2 x y 2

Isolando y ' :

y ' = - sin ⁡ y - 2 x y 2 2 x 2 y + x cos ⁡ y

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y ' = - sin ⁡ y - 2 x y 2 2 x 2 y + x cos ⁡ y

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Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = xt gy
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub