Encontre y '

a) 2 x + y 3 = 3

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada, y ' , da expressão implícita 2 x + y 3 = 3 . E se essa é uma expressão implícita, nós vamos usar o quê? Isso mesmo, a derivação implícita.

Pra relembrar, na derivação implícita nós vamos derivar normalmente cada termo com y , como se tivesse derivando termos com a variável x , só que vamos acrescentar um espacinho em branco do lado. Nesse espacinho em branco nós vamos completar com o termo que representa a derivada de y em relação a x , que vai ser denotado por y ' . Depois basta isolar o y ' e encontramos nossa resposta.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar tomando a derivada em relação a x em ambos os lados da equação:

d d x 2 x + y 3 = d d x ( 3 )

Como a derivada de constante é zero, ficamos com o seguinte:

d d x 2 x + y 3 = 0

A derivada da soma é a soma das derivada, então podemos separar os termos:

d d x 2 x + d d x y 3 = 0

O primeiro termo depende só da variável x , então nós podemos derivar normalmente usando a regrinha da potência ( d d x x n = n x n - 1 ):

2 d d x x 1 / 2 + d d x y 3 = 0

2 1 2 x - 1 2 + d d x y 3 = 0

1 x + d d x y 3 = 0

E agora como derivamos a parte que depende da variável y ?

Passo 3

Considerando y como uma função de x , ou seja, y ( x ) , nós basicamente vamos usar a regra da cadeia na derivação. Derivando a função de fora, que seria derivar y normalmente, e depois multiplicar pela derivada da função de dentro de y ( x ) . Olha só:

1 x + d d x y 1 / 3 = 0

1 x + 1 3 y - 2 3 _ _ _ _ _ = 0

E no espacinho em branco, a gente acrescenta a derivada da função de dentro, que é o próprio y ' . Então fica:

1 x + 1 3 y - 2 3 y ' = 0

1 x + 1 3 y 2 3 y ' = 0

Agora basta isolar y ' :

1 3 y 2 3 y ' = - 1 x

y ' = - 3 y 2 3 x

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y ' = - 3 y 2 3 x

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a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub