Considere y   =   f ( x ) definida implicitamente por x 4 -   x y   +   y 4   =   1 . Calcule f ' ( 0 ) , sabendo que f ( x ) > 0 para todo x pertencente aos reais.

Passo 1

Para começar, vamos calcular a derivada f ' x = y ' fazendo derivação implícita de f ( x ) .

d d x x 4 -   x y   +   y 4   = d d x 1

4 x 3 - y - x y ' + 4 y 3 y ' = 0

4 x 3 - y + y ' 4 y 3 - x = 0

y ' = y - 4 x 3 4 y 3 - x = f ' ( x )

Passo 2

Precisamos achar f ' ( 0 ) então vamos substituir x por 0 em f ' ( x ) e onde acharmos y isolado, trocamos por f 0 :

f ' ( x ) = f x - 4 x 3 4 f x 3 - x

f ' 0 = f 0 - 4 ∙ 0 3 4 f 0 3 - 0 = 1 4 f 0 2

Opa, mas tem algo faltando ai, não? Quem vai ser esse tal de f 0 ? Dá pra achar? Fica tranquilo que dá sim

Passo 3

Precisamos achar f ( 0 ) então vamos substituir x por 0 em “ x 4 -   x y   +   y 4   =   1 ” e onde acharmos y isolado, trocamos por f 0

x 4 -   x y   +   y 4   =   1

0 4 -   0 ∙ f 0   +   f 0 4   =   1

f 0 4   =   1

f 0   = ±   1

Mas como o enunciado nos deu a dica de que f ( x ) > 0 para todo x pertencente aos reais, tiramos:

f 0   =   1

Passo 4

Agora é só juntar tudo que conseguimos encontrar. Partiu?

f ' 0 = 1 4 f 0 2

f 0   =   1

Logo:

f ' 0 = 1 4

Resposta

f ' 0 = 1 4

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